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摘 要：正定矩阵是高等代数中一个重要的概念,矩阵奇异值分解是高等代数中一种重要的矩阵分解.本文主要探究两个问题.一是论证正定矩阵的几个定理,并结合二次型与矩阵合同的知识深入探讨正定矩阵.二是对奇异值分解的概念进行描述,并证明矩阵奇异值分解定理.最后利用一些例题来加深对正定矩阵与矩阵奇异值分解的理解.
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关键词：正定矩阵；奇异值；矩阵分解8255
Positive Definite Matrix And Singular Value Decomposition
Abstract: Higher positive definite matrix algebra is an important concept, singular value decomposition is an important advanced algebra matrix factorization paper mainly explore two issues. First demonstration of several theorems positive definite matrix, combined with matrix quadratic depth knowledge of the contract definite matrix Second, the concept of singular value decomposition to describe and demonstrate matrix singular value decomposition theorem. Finally, some of the examples to deepen the positive definite matrix and singular value decomposition understanding.
Key words：Positive Definite Matrix; Singular Value ; Matrix Factorization
目 录
摘 要 1
引言 2
1.正定矩阵 3
1.1正定矩阵的预备知识 3
1.2 正定矩阵的判别 3
2.矩阵的奇异值分解 9
2.1矩阵的奇异值定义 9
2.2矩阵的奇异值分解 9
3.正定矩阵与矩阵的奇异值分解应用 11
3.1正定矩阵的应用 11
3.2矩阵的奇异值分解应用 16
结束语 17
参考文献 18
致谢 19
正定矩阵与矩阵的奇异值分解
引言
矩阵的研究历史悠久，在很早的年代已有人研究.在高等代数中，正定矩阵是矩阵中的一种，可简称为正定阵.正定矩阵是二次型化标准型的一个重要理论知识.是研究方程取值大小的一个突破.奇异值分解在某些方面与对称矩阵特征向量的对角化类似.然而这两种矩阵分解尽管有其相关性但还是有明显的不同.矩阵奇异值分解使得矩阵分解成为正交矩阵与对角线元素是奇异值的主对角线矩阵.使得矩阵的计算更加方便与快捷.
本文主要参考文献[2]，参照文献[4]本文引用二次型化标准型和对角矩阵的相关知识，引出对称矩阵正定的相关定理与结论. 参照文献[4]的奇异值和矩阵的奇异值分解的内容与定理. Rajendra Bhatia.所写的《Positive definite matrices 》,了解矩阵奇异值分解的原理和应用.
作为解决线性方程的工具，用方阵乘积表示线性方程组.那么都有哪些知识可以得到矩阵是正定矩阵?正定矩阵成立有什么充要条件?正定矩阵可以与哪些代数知识相联系?矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在二次型的研究发展起来后.本文主要是掌握正定矩阵的定义、性质，正定矩阵的存在充要条件.并结合所学，总结正定矩阵的各种方法，并加以应用.论述正定矩阵存在的充要条件.掌握矩阵的奇异值求解及证明矩阵的奇异分解理论.论述了矩阵奇异值求解，矩阵奇异值分解的条件和求法.
1.正定矩阵
1.1正定矩阵的预备知识
设 是 阶方阵，如果对任何非零向量 ，都有 ，其中 表示 的转置，就称 为正定矩阵.
例如 为 阶矩阵， 为单位矩阵，a为正实数. 在a充分大时， 为正定矩阵（ 必须为对称阵）.
一个 阶的实对称矩阵 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量 ，都有 .其中 表示 的转置.
定义1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 都大于0.