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1. Stolz定理
Stolz定理是数学分析中的一个重要定理,它对分式极限的求解起到了简化与便利的作用.作为本文的开头,我们首先叙述离散的Stolz定理.
1.1 （ ）型Stolz定理
若 从某一项开始严格单调递增,且 ,如果
(其中 为有限数或为 或 )
证 (1) 先设 为有限数 对任意的 ,存在 ,使得 且当 时有
于是有
以上 个式子相加,得
对固定的 ,因为 ,所以,存在 ,使得当 时,有
(2) 若 由式(1)知,当 充分大时有, ,
故 也严格递增趋于 .于是式(1)可等价的写为
.
由已证结论(1) 知, .故 .
(3) 若 ,记 ,则 .
由(2)知, ,即得 .
1.1.1 型Stolz定理的几何意义
离散的Stolz定理给出了一种求( )型极限的方法,其几何意义是:
在平面上有一无限折线 ,其中 .折线段 的斜率为 ,矢径 的斜率为 .当数列满足Stolz定理条件时,矢径 的斜率与折线段 的斜率在 时趋于同一极限.
如下图 所示,若线段 的斜率当 时极限为 ,表示当 时，点 位于某条直线 的附近;而当直线 上的点 沿着 移向无穷远时,它与点 的连线与直线 的夹角趋向于 ,即当点 移向无穷远时直线 将与直线 “平行”,
亦即它们的斜率将相等,如 图所示.
注 当 时,上述所给结论未必成立.例 , .此时.虽有 ,但是 ,即 .
1.1.2 型Stolz定理的几个常用推论
由Stolz定理,我们知道其在求比式极限方面的优越性,接下来列举它的几个常用结论.它们均是Stolz定理的应用,这些是在平时习题的基础之上总结出来的,下面我们以推论的形式给出.
推论1(算术平均值) 若 ( 为有限数或为 或 ),则 .
推论2(几何平均值) 若 ( 为有限数或为 或 ),则 .
推论3(比值) 若 , ( 为有限数或为 或 ),则 .
推论4 若 ( 为有限数或为 或 ),则 .
再一般地,若 ( 为有限数或为 或 ),则当 ( )时,有
1.2 ( )型Stolz定理
前面我们已经对( )型Stolz定理,分别从证明、几何意义及其推论这三个方面加以研究.下面直接给出( )型Stolz定理内容,它的研究方法与( )型Stolz定理十分相似,这里为了避免赘述,不再加以详细阐述.
若 从某一项开始严格单调递减,且 , ,如果
（其中 为有限数或为 或 ）
则2. Stolz定理的推广
本文的第一部分对离散的Stolz定理作了相对完整的阐述,我们知道不管是从理论研究的角度还是从实际应用的角度,离散的Stolz定理都有着自身难以突破的局限性:(1)满足条件的函数型比式极限求解;(2)定理条件严格,例如当条件中 时定理失效,这也是Stolz定理与L'Hospital法则的区别之一.因此对Stolz定理的推广还是十分有必要的,下面将从两个方面加以考虑.
2.1 Stolz定理推广到实数集函数连续形式
设想如果能够将定理中变量的范围扩大到整个实数集,那么刚才提到的问题就能够得到更好地解决.事实上,这一设想是可以实现的,定理推广后变量变为连续的.接下来对连续的Stolz定理加以研究.
2.1.1 型Stolz定理的推广
若函数 与 都定义在 内, 与 在每一个有限区间 内有界, 为任意的正实数，并且 在 时满足
(i) 且(ii)
则 (其中 为有限数或为 或 )证
下面分别对 为有限数、 或 的情况加以证明．