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定义 在平面极坐标系 (或直角坐标系Oxy)中，M 为任意点，以 为圆心 为半径作圆，把 为尖点作圆的渐伸线使发生线与圆的切点停止在极轴上，渐伸线与发生线的交点称为M的渐伸变换点，简称渐伸点，由尖点到渐伸点的变换称为圆的渐伸变换，简称渐伸变换．顺时针渐伸点一直处于 轴上方，为正渐伸变换点，逆时针渐伸点一直处于 轴下方，为负渐伸变换点．当渐伸角 =0时，为等角渐伸变换， 是正渐伸变换， 是负渐伸变换.
1.2 渐屈线
定义 曲线C在点 的曲率圆是与该曲线C相切于点 (凹侧)的最大圆，曲率圆的圆心的轨迹曲线G称之为曲线C的渐屈线．
1.3 伴随曲线
定义 已知平面曲线C，M是C上的任意一点.选取同一个平面上的点P与之相对应，即M→P．当点M移动在曲线C上时，点P也一般要伴同着点M的运动而运动，如果设点P的轨迹是C'，那么C'就是C的伴随曲线，M与P是互为相伴点．
1.4 达布曲线
定义 在三文欧氏空间中，经过空间曲线上的一点，并且与该点的达布向量平行的直线，称它是曲线在这点的达布线．若是曲线C与另一条曲线 的点之间建立这样的一一对应关系，使得在对应点的达布线重合，那么这两条曲线称之为达布曲线对，其中的一条叫另外一条的达布侣线．也称曲线 与 为达布曲线对.在对应点达布线重合的两条曲线 与 可以表示为 ，且 ．
1.5 定倾曲线
定义 如果曲线 上每一个点的切线都与固定方向成固定角的曲线叫做定倾曲线．
定义 与圆柱面母线的交角成固定角的曲线称它是圆柱螺旋线．
定义 与圆锥面的母线的交角为固定角的曲线称为圆锥螺旋线．
有定义可得圆锥螺旋线和圆柱螺旋线都是定倾曲线．
1.6 等距曲线
定义 设两条曲线为 和 .如果 上的任意一点 都有 上的一点 与之对应， 上不同的点对应 上不同的点，而且对应点的连线 是 和 的公法线， 的长度是一定的，即 和 之间的距离处处相等.我们说 和 是等距曲线.
2 具有对应关系曲线的性质和应用
2.1 渐伸变换
2.1.1圆的渐伸变换相关性质
圆的渐开线展开原理，极坐标转换参数，为直角坐标，极坐标曲线的直接转化为积极或消极的坐标曲线，这种转变是简单和容易理解的，通过改变曲线进行一个全面的了解，原来的曲线，渐开线变换建立了两曲线间，逐渐转型的主要特征．
由参考文献 、 可知以下1-4成立．
性质1 点 渐伸变换成为直线 上相距 的周期点．
性质2 极坐标系下单调增加的函数经正渐伸变换成为直角坐标系下单调增加函数．
性质3 曲径环形经渐伸变换成为曲边梯形．
性质4 渐伸线的等距曲线也是渐伸线.
由上述性质可得一重要推论
性质5 曲线C： ，其等角渐伸变换曲线L的直角坐标方程为 ，H为等角渐伸变换，则对应点之间有变换关系．
， 2.1.2 圆的渐伸变换相关应用
例1 圆的渐伸变换曲线
设圆心在极点的圆： ,那么渐伸变换曲线为 ,由上述推论有：圆心在极点的圆渐伸变换为垂直于极轴的切线 .
例2 双曲螺线的渐伸变换曲线
设双曲螺线 ，因此由推论有： ，又当 ，即 是双曲螺线的渐近线，因此，双曲螺线的等角渐伸曲线是与渐近线相同的直线 ．
例3 阿基米德螺线的渐伸变换曲线
设阿基米德螺线为 ，因此由推论有， ，就有：阿基米德螺线等角渐伸为抛物线．
例4 连锁螺线的渐伸变换曲线
设连锁螺线 ，由推论有， ，又当 ， 轴是连锁螺线的渐近线.因此，因此，链螺旋等角渐开线曲线是双曲线渐近线，都一样，所有的轴皆为 轴．