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摘 要：第二型曲面积分的计算是数学分析中的一个难点.本文给出了第二型曲面积分的定义，相关的定理及性质，在此基础上给出了它的一些计算方法，如：基本的定义法，分面投影法，参数法，合一投影法，向量法以及利用积分区域的对称性，高斯公式计算第二型曲面积分.8907
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关键词：第二型曲面积分；数学分析；计算方法
Explore To The Second Type Surface Integral Method
Abstract: Calculate the surface integral of the second kind is a difficulty in mathematical analysis. This paper gives a definition of the surface integral of the second kind, theorem and related properties, then gives some calculation methods, such as: the definition method its basic, surface projection method, parameter method, a projection method, vector method and the use of the symmetry of integral region, second surface integral calculation of Gauss formula.
Key words: The second type surface integral, mathematical analysis, the calculation method.
引言
第二型曲面积分是数学分析中的重要内容，也是曲面积分的重要组成部分之一，它在我们实际生活中有着广泛的应用，对计算实际问题（流体的流量）尤为重要，因此探讨它的计算方法有着重要的意义.第二型曲面积分也极大地激发了同学们学习数学分析的兴趣，更好地让学生掌握技能，培养他们分析问题，解决问题和创新思文能力.因此探讨学习第二型曲面积分的解法就显得至关重要.
很多文献都对第二型曲面积分的解法进行了探讨.如文献[1][2][3]给出了应用定义及其性质.文献[4]给出应用分面投影法去求解第二型曲面积分，文献[5]给出了用高斯公式求解第二型曲面积分，并说明了应用这一公式时应注意的几个方面.文献[6][7]给出了应用参数法去求解第二型曲面积分，文献[8][9]给出应用合一投影法求解第二型曲面积分，并说明了应用这一公式时应注意的几个方面.最后文献[10]给出应用向量法求解第二型曲面积分.
在前人研究的基础上，本人通过阅读大量的参考文献，查阅搜集大量的书刊报纸得到了第二型曲面积分的几种解法，并对它的解法进行了系统的归纳与总结.由于本文的主要内容是寻找解法，所以本文是以大量的理论知识并结合例题进行讲解说明，具有一定的理论意义与实践价值.
1.预备知识
1.1 第二型曲面积分的定义
定义1【1】：设 为定义在双侧曲面 上的函数，在 所指定的一侧作分割，它把 分为 个小曲面 分割 的细度 ，以 ， , 分别表示 在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由 的方向来确定，若 的法线正向与 轴正向成锐角时， 在 平面的投影区域的面积 为正，反之，若 法线正向与 轴正向成钝角时，它在 平面的投影区域的面积 为负.在曲面 上任取一点( )，若
存在，且与曲面 的分割 和 在 上的取法无关，则称此极限为函数 在曲面 所指定的一侧上的第二型曲面积分.记作：
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1.2第二型曲面积分的性质 性质 若 ， 存在其中 是常数.
性质 若曲面 是由两两无公共内点的曲面块 所组成，且 存在，则有 性质
其中 表示指定曲面的另一侧.
2.第二型曲面积分的解法
2.1 直接计算法
定理 设 是定义在光滑曲面 上的连续函数，以 的上侧为正侧（这时 的法线方向与 轴正向成锐角），则有