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成立，将上式两端乘以 即可得到
，
命题得证.
注：可以看出，积分中值定理公式
（ 在 与 之间）
中，不论 还是 都成立.
例1 设 在 上连续，在 内可导，且存在 ，使得 ，证明在 内存在一点 ，使得 .
证明 对于 式中的右边的 作3种假设
i 若 ，则由积分中值定理，存在 ，使得 ，则 ，又 为中值，必存在 .从而由 在 内可导知，存在 ， ， .故存在 ， .
ii 若 ，同理可证.来~自^751论+文.网www.751com.cn/
iii ，两边求导， ，即令 即证.
2.1.2 定积分中值定理的推广
推论1(推广的定积分中值定理)：如果函数 在闭区间 连续，则在开区间 至少存在一个点 ，使得
②
成立.
证明[1] 作辅助函数 如下，
由于 在闭区间 连续，则 在 上是连续函数且可微，则有 成立.
由微分中值定理可知，至少存在一点 ，使得 成立.并且有 ， ，此时即可得到下式