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偏微分方程具有双重性。一方面，偏微分方程可以模拟解释应用科学中的一些物理现象。18世纪，为了解决实际物理问题，如弦振动问题、万有引力问题、流体水力学问题等，产生了偏微分方程，特别是Euler建立了流体力学中无黏性可压缩和不可压缩流体的著名Euler方程。到了19世纪，随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的理论和应用也飞速发展并变为“数学的中心”。从这个意义上说，所研究的问题来源于物理实际，研究方法启发于物理科学，研究内容与实际相关，结果解释实际物理现象。同时，物理科学、工程技术以及应用科学中出现的偏微分方程在偏微分方程的发展史上一直占据着最重要的地位，因此它属于应用数学的学科范畴。另外，从19世纪中期开始，偏微分方程成为发展数学其他分支的一个重要的工具，促进了其他相关数学分支的发展。例如，Poincaré对极小曲面方程和Monge-Ampére方程以及它们几何意义的研究，促进了几何学的发展。Donaldson和Seiberg-Witten在四维微分流形的拓扑学中的工作大部分建立在偏微分方程理论的基础上。2006年，百年难题Poincaré猜想的解决充分显示了偏微分方程这种重要分析工具的伟大性。除了几何学和拓扑学上的应用外，偏微分方程还与金融数学、概率理论和统计分析（Brown运动、多粒子流体动力学）以及动力系统，尤其是Hamilton系统等数学的其他许多领域紧密相关[2]。文献综述
应该强调以下两点：第一，偏微分方程作为一门学科，在分析学的发展过程中始终处于核心地位。从Cauchy-Riemann方程和Fourier级数开始，调和分析中许多得到发展的重要课题，如广义函数、Sobolev空间、奇异积分算子、拟微分算子、仿微分算子和微局部分析等，都与偏微分方程理论有着密切的联系。第二，科学、技术、工程以及工业总是刺激偏微分方程发展的动力源泉。实际上，历史上有许多这样的例子，至今仍十分重要且意义深远。如Euler（1755），不可压流体的不可压Euler方程；Lagrange（1760），几何学中的极小曲面方程；Maxwell（1864），电磁学理论中的Maxwell方程组（被称为19世纪对科学和技术带有巨大冲击的最壮观的胜利）；Einstein（1915），广义相对论中的Einstein方程（被称为20世纪最伟大的科学成就，也成为历史上数学应用最伟大的例子之一）等等[2]。
18世纪偏微分方程诞生的早期，限于分析学知识的贫乏，人们主要的研究兴趣是如何将物理问题数学化，即如何建立偏微分方程模型，寻找一些特殊方程的显示解或特解。正如Euler所言，限于当时的分析工具，几乎对所有的方程都没有找到普遍的方法来解决它们，整个学科的发展还处在幼年时代，偏微分方程的理论有待形成。因此，可以说“18世纪偏微分方程研究中的主要成就是揭示了它们对弹性力学、水力学和万有引力问题的重要性”。到了19世纪，随着分析学的飞速发展，偏微分方程的研究发生了重大变化、许多重要的方程，特别是非线性方程求出显示解是不可能的。受代数学根的存在原理的启发（在多项式方程的情形，解四次以上方程的努力失败后，Gauss转而去证明根的存在性），偏微分方程的研究内容转为研究其适定性[2]。
1.1.2 偏微分方程定解问题的相关理论简介来!自~751论-文|网www.751com.cn
如果一个给定的偏微分方程的定解问题有一个解，这个解是唯一的，并且解连续依赖于该问题中给定的已知数据，那么就说这个问题是适定的。简单地说，适定性就是指存在性、唯一性和稳定性。特别是稳定性问题对物理是非常重要的，也是物理学家最关心的问题之一，如解是否随初始条件连续地变化？或者当初始条件或边界条件稍稍变化时是否有全新的现象产生[2]？