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在对偏微分方程的基本理论进行研究的过程中，通常定义两种形式的解：一种称为经典解，即出现在方程中的所有导数是连续的且在经典意义下满足定解条件的解。18、19世纪本质上是研究这种经典解的。另一种称为弱解或广义解，即导数可以不存在的解。有两方面的原因导致了弱解的重要地位。其一，一些非线性的方程不存在经典解；其二，方法论上的原因。对于一些问题，不能直接获得其经典解，但可以先建立其某种形式的解，再借助现代分析的工具，获得其适当的光滑性，从而得到经典解。这就是弱解的正则性问题。当然，弱解的研究是困难而复杂的，不仅要研究弱解的适定性，还要研究其正则性。数学家Sobolev在建立Sobolev空间理论后，其他相关学科，如实变函数、泛函分析和调和分析等理论被用到偏微分方程中来，使得这种方法成为可能，并得到飞速发展。弱解的正则性理论是20世纪偏微分方程研究领域的杰出成就。由此也导致了三类二阶线性偏微分方程的基本理论的形成[2]。
在近代，对偏微分方程的解的适定性的基本理论研究已经有了相对比较完善的理论体系。