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摘要：旋转曲面面积的计算是高等数学中的重点内容之一.本论文首先给出坐标平面上简单光滑曲线绕该平面上坐标轴、任一直线旋转一周所得到的旋转曲面面积的计算公式；其次研究了平面曲线段绕任意过极点的直线旋转所得旋转曲面的面积公式；最后运用微元法和坐标变换法讨论空间曲线绕空间任意直线旋转任意角度所形成的旋转曲面面积的计算公式.10665
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关键词：旋转曲面；面积；计算方法
The Discussion of the Calculation About the Area of Curve Surface of Rotation
Abstract：The calculation about the area of curve surface of rotation is an im-
portant part of higher mathematics. Firstly,this paper discusses an formular which can be used to calculate the area of the curved surface of revolution generated from a circular motion of a line on a planar currilinear;secondly,this paper discusses an formular which can be used to calculate the area of the curved surface of revolution generated from a circular motion of line which get through axis polaris; lastly, using of the element method of the integral,we gave the general calculation formular of the area of the curve surface of rotation in arbitrary rotation angle with space curve.
Key words: The curved surface of revolution;Area;The method of calculation
目 录
摘 要 1
引言 2
1. 预备知识 3
2．旋转曲面面积的计算方法 3
2.1平面曲线绕直线旋转所得旋转曲面的面积计算方法 3
2.2空间曲线绕直线旋转所得旋转曲面的面积计算方法 5
3. 应用举例 8
4.结束语 13
参考文献 14
致谢 15
论旋转曲面面积的计算方法引言
旋转曲面面积的计算是高等数学中的重点内容之一，也是历年研究生考试的重点和难点内容，旋转曲面面积的计算不仅可以很好地培养学生的抽象思文和逻辑推理能力，而且由于旋转曲面面积的计算在实际中有广泛的用途，所以也能够很好地逐渐培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和兴趣，培养建立实际问题的数学模型及运用数学方法解决实际模型的能力，使自己的数学素质得到充分的发展和提高.
本文所参考的文献中,文献[1]重点介绍了在坐标平面内运用微元法计算旋转曲面的面积,文献[5][8]主要介绍了空间情形下旋转曲面面积的计算方法，将平面情形推广到了空间情形.文献[7]讨论了在极坐标系下旋转曲面的面积计算问题，并讨论了其在一些例子中的应用.
本文在上述文献的基础上,归纳总结了有关旋转曲面面积的计算的最新成果，首先探讨了坐标平面上简单光滑曲线Γ绕该平面上坐标轴、任一直线旋转一周所得到的旋转曲面面积的计算方法；接着又对平面曲线段绕任意过极点的直线旋转所得旋转曲面的面积公式进行了讨论；然后运用微元法和坐标变换法研究空间曲线绕空间直线旋转任意角度所形成的旋转曲面面积的一般计算公式.在探讨的过程中，对各个计算方法的适用范围进行了讨论，针对不同的方法又给出具体的例子加以说明.
1.预备知识
定义1[1] 在空间，一条曲线Г绕着定直线 旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回旋曲面.曲线Г叫做旋转曲面的母线，定直线 叫做旋转曲面的旋转轴，简称为轴.
定理1[1] 如果 那么 或写成
古鲁金定理2[2] 平面曲线绕此平面上不与其相交的轴(可以是它的边界)旋转一周,生成的旋转体侧面积等于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长，即： ( 为曲线重心到轴的距离， 为曲线段长).