2.旋转曲面面积的计算方法
根据旋转曲面的定义,我们知道旋转曲面是由曲线绕定直线旋转一周所生成的,若由曲线的分类来对旋转曲面进行分类,旋转曲面可分为由平面曲线绕定直线旋转生成,和由空间曲线绕定直线旋转生成.下面我们分别就这两种情况讨论旋转曲面面积的计算方法.
2.1平面曲线绕直线旋转所得旋转曲面的面积计算方法
2.1.1平面曲线绕坐标轴旋转
定理3[3] 设平面光滑曲线 的方程为 , [a,b](不妨设 ),则这段曲线绕 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为
. (1)
定理4[4] 设 面上的光滑曲线段
绕 轴旋转一周得到旋转曲面 ,函数 在 上连续,则有
可以看出,定理4应用了曲面积分与曲线积分相结合的方法,当 时,就得到
绕 轴旋转一周所得旋转曲面 的面积
定理3,4都适用于求解平面曲线绕坐标轴旋转所形成的旋转曲面面积,在应用定理3时,我们要注意确定定积分中变量和变量的取值范围.定理4可以使我们更加熟练地应用曲面积分计算.
2.1.2平面曲线绕该平面上任一直线旋转
定理5 设 是平面上一条光滑曲线,绕直线 旋转一周得到旋转曲面,则此旋转曲面的面积
(3)
证 我们可以按照定理3那样,用微元法证明该定理.因为 上任意小区
间的小截锥面积约等于小旋转曲面面积,由古鲁金定理可以得到 ,
其中 是曲线上点到定直线的距离,所以
定理5中所给出的方法适用的范围比较广泛,只要是求解平面曲线绕定直线旋转所得旋转曲面的面积,我们都可以将曲线与旋转轴的方程化成定理中所要求的形式,然后带入公式计算.
2.1.3平面曲线绕任意过极点的直线旋转
情形一:绕极轴的旋转曲面面积
定理6[5] 设 有连续导数,而曲线段 位于极轴的同侧,则 绕极轴旋转一周所得旋转曲面的面积为
(4)
情形二:绕 的旋转曲面面积
定理7[5] 设 有连续导数,而曲线段 位于 的同侧,则 绕 旋转一周所得旋转曲面的面积为
(5)
定理6,7是比较特殊的情形,当题目中以极坐标的形式给出平面曲线方程时,我们就可以根据情形不同,直接带入公式(3)或(4)进行计算,比较方便.虽然公式(2)也适用,但是比较麻烦.
2.2空间曲线绕直线旋转所得旋转曲面的面积计算方法
2.2.1 微元法
定理8[1] 设空间中的一条直线 : ,直线外有一点 ,设直线上一点 ,则 到直线 的距离为
证 作平行四边形 ,其中向量 是直线 的方向向量,
- 上一篇:极值和最值问题的多种解法
- 下一篇:自由现金流量与企业价值评估
-
-
-
-
-
-
-
当代大学生慈善意识研究+文献综述
大众媒体对公共政策制定的影响
电站锅炉暖风器设计任务书
河岸冲刷和泥沙淤积的监测国内外研究现状
java+mysql车辆管理系统的设计+源代码
酸性水汽提装置总汽提塔设计+CAD图纸
中考体育项目与体育教学合理结合的研究
十二层带中心支撑钢结构...
乳业同业并购式全产业链...
杂拟谷盗体内共生菌沃尔...