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1.2 课题研究的理论基础
弹丸测速的研究步骤是本设计的理论基础，包括信号的收集、信号处理、运动特征参数拟合三个方面。
1.2.1 测速雷达反射信号的收集
本课题主要采用多普勒雷达对弹丸进行跟踪测试，其结构简图如图1.1（a）所示，工作原理图如图1.1（b）所示[5]：
多普勒雷达测速示意图
图1.1（b） 多普勒雷达系统的工作原理图
如果假定弹丸出膛时，在短时间内仅存在径向运动，且不考虑横风的影响。当发送连续波雷达用于检测弹丸的运动情况时，发射信号可表达为
(1.1)
式中， 为发射角频率； 为初相；A为振幅。
当电磁波接触到弹丸时，弹丸将反射一个回波信号 ，其表达式为
(1.2)
式中，k为衰减系数， 为回波滞后于发射信号的时间，且 ，c为电磁波传播速度，在自由空间中传播时，它等于光速； 为弹丸和雷达收发机之间的距离，由于弹丸的运动，有式：
(1.3)
式中， 为t=0时刻的距离； 为弹丸不考虑横风等因素影响的径向运动速度。
稍作推导，我们便可以得到一个关于收发频率差、发射波长和运动速度的关系式：
(1.4)
这就是多普勒频率与弹丸运动速度之间的公式[6]。由上述内容可知，我们所需要的收集的数据就是一组多普勒频率值，由于弹丸是一个运动的物体，且速度一直在改变，所以我们所收集到的多普勒频率 应该是一条随时间变化的曲线[7]。
1.2.2 测速雷达反射信号的信号分析
多普勒反射信号的处理方法主要分为3种，分别为定时测周法、定周测时法和频谱分析法。考虑到前两种测试方法是在时域上进行分析，但可以收集到的多普勒反射信号的时域有着诸多缺陷。由于衰减，反射信号的幅度较小，可能会淹没在一片白噪声中，信噪比很低。所以，本文将选用频谱分析法，借助FPGA和Context A9处理系统，完成对雷达测速信号的实时分析，得出相应的运动参数[8]。
利用多普勒效应对雷达反射信号进行频谱分析的方法，可以将反射信号的全部信息都记录下来并加以分析，整个过程能够实现完整的数字化处理，精度可以满足数据处理的要求，在低信噪比和抗干扰方面具有很大的优势，灵活性也较强，弹丸的全程速度规律都将被推演并记录。这种方法对于测量连续目标来说，优势十分明显[9]。
傅立叶变换可以将时域信号转换为频谱信号，在时域与频域的转换过程中，存在4种不同的傅里叶变换形式，如表1.1所示[10]。
表1.1 各类傅立叶变换
变换名称 时域 频域
连续Fourier变换 非周期、连续 非周期、连续
连续Fourier级数 周期、连续 非周期、离散
离散时间Fourier变换 非周期、离散 周期、连续
离散Fourier变换 有限长、离散 有限长、离散
由于计算机无法处理模拟信号，所以时域或频域谱连续的情况都难以进行计算机处理。根据上述情况，我们选择离散傅里叶变换（DFT：Discrete Fourier Transform）对速度信号进行处理，对N点的序列x(n)，DFT的变换公式为[11]：