AIC基于随机解调的模拟信息转换(3)

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当然，这种新型理论本身也是具有限制条件的：首先，原始信号必须是稀疏或是可压缩的。其次，观测系统和测量系统必须具有不相关性。这两点是能否对信号运用压缩感知理论进行压缩重建的前提。

相较于传统采样理论，CS理论避开了高采样率的限制，降低了对于数据采集系统的要求，使得信号采样和处理可以以较低速度来运行，节省了存储空间和系统资源，降低了信号处理成本，为数字信号处理找到了一条新的前进道路，也为其他领域带来了新的思路。

2.1 信号的稀疏性

　　所谓稀疏信号，就是指在信号中只有少数元素非零而其他大部分元素都为零或者其绝对值接近于零，信号的全部内容（或者主要内容）则由这几个少数非零元素来表示。那么这个信号就称之为稀疏信号。然而，通常我们所碰到的时域内的自然信号并不满足上述条件[3]。但是，可以通过某一正交基底将信号分解，所得到的系数中若绝大部分为零，那么信号在该基底空间下就是稀疏的。也就是说，信号在该基底空间下可以稀疏表示。

　　不妨考虑一个有限长度，一维的离散实序列。假设该信号大多数元素非零（即该信号不是稀疏信号）。由线性代数的知识可知，信号可以由组的正交向量基组线性表示。即：

。或者写成。

其中，就是权重系数。而即为一组正交基底。系数向量就是信号在基底空间下的线性表示。如果系数中绝大多数元素的绝对值为零或接近零，而仅有小部分元素非零，那么，系数就是信号在正交基底下的稀疏表示。而基底称之为信号的稀疏矩阵。若在中有个元素非零，其余个元素为零，那么就称信号是－稀疏的，或者说，信号的稀疏度为。而稀疏向量则包含了原信号中的全部信息，是与信号等价的不同表示。

　　建立一个信号的稀疏表示是压缩传感的前提条件，而寻找合适的稀疏矩阵则是问题的关键所在。常用的稀疏矩阵有时域单位矩阵，傅里叶变换基矩阵以及小波基矩阵等等。除了以正交基为稀疏矩阵之外，人们也在寻找其他的信号稀疏表示方法。例如，用超完备的冗余函数库来代替基函数，将其称之为冗余字典。字典的元素称为原子。字典的选择应该尽可能的符合逼近原始信号的结构。其构成可以没有任何限制[4]。用字典中具有最佳线性组合的项原子来表示一个信号,称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。

2.2 观测矩阵论文网

压缩感知理论中提到，对稀疏信号进行全局观测，得到低维信号。那么观测矩阵的建立就是关键所在。它要做到的是从尽可能少的观测值中恢复出原始信号。即保证从采样所得到的个观测值中采取合适的算法能够恢复出原始信号或者它在某正交矩阵下的稀疏表示。

如果观测矩阵设计不当，在应用中破坏了原信号结构，那么再想在之后操作中恢复出原始信号是不可能完成的了。可以说观测矩阵的好坏，直接左右了最后结果的成败。因此，观测矩阵的建立，是运用压缩感知理论进行信号恢复重建的重中之重。在建立观测矩阵的过程中，还需要考虑到它与稀疏矩阵之间的关系，如果二者具有相干性，也不能重构出原始信号。也就是说，观测矩阵必须与稀疏矩阵不相干。之所以有如此要求，是因为在对信号压缩采样时，我们期望所得到的观测值能够包含信号中的全部信息，也就是说，希望观测向量中的每个元素所包含的内容都不相同，也就要求观测矩阵和稀疏矩阵的向量尽可能正交，或者尽可能的不相干。