AIC基于随机解调的模拟信息转换(4)

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对于两组基之间的相干性，可由两个矩阵之间的最大相关系数来衡量，最大相关系数的定义是：。其中，，分别为矩阵 , 的行向量和列向量。值越大，两矩阵的相干程度就越高，值越小，两矩阵的相干程度就越低。如果选取观测矩阵为单位阵时，此时相干程度最大，若想得到原稀疏信号的全部内容，就必须采集与原始信号相当的数据，因而也就失去压缩感知的意义，退化为最普通的采样，即奈奎斯特采样。在满足非相干性约束的条件下选定好观测矩阵后，就可以对原信号进行全局观测了。

这里假设信号的长度为，并且在某一正交基底下具有稀疏表示，其权重系数为s。将观测矩阵与信号相乘，就可以得到在矩阵投影下的观测向量了。即：。这里矩阵称之为感知矩阵。

需要注意的是，可以以远低于奈奎斯特采样率的速度对信号进行观测正是压缩感知理论的亮点所在之处，而观测矩阵的行数就代表了观测次数（中每一行的行向量就代表一次观测，就会得到一个观测值）因而的行数应远小于信号的长度。这里，矩阵是行列的正交基，为了满足与能够相乘得到感知矩阵，观测矩阵的列数应该等于正交基的行数，即。

　　在得到观测向量之后，要想无失真的恢复出原始信号，对测量中的感知矩阵也有一定的要求。以上面假设为例，为原始信号的稀疏表示，假设的稀疏度为，则感知矩阵与的关系必须满足限制等距条件（RIP）。为了更好的描述这一条件，我们定义为矩阵和向量的等距常量。对于任意的正整数，值由下式的最小值所确定：

如果，则称矩阵满足阶RIP条件，这就保证了系数向量不会在的零空间中（矩阵的零空间，是指方程的所有解的集合，也称为矩阵的核），否则会有无穷多解。如果进一步严格约束，则必须满足：成立。

　　可以看出虽然RIP条件的描述是针对于感知矩阵，但是由于而稀疏矩阵已确定，所以实际上还是对观测矩阵的建立进行了约束。也就是说，观测矩阵不仅要满足非相干性，还要满足限制等距条件。但是如果直接运用这两个约束条件来建立观测矩阵的话，在实际操作中基本实现不了。幸运的是，只要选取得当，就有很高的概率可以使观测矩阵和稀疏矩阵不相关，或二者之间的值很小，满足压缩采样所要求的条件，并且符合RIP条件的约束。例如对于高斯随机矩阵。它的每一个行向量都服从独立正态分布，并且它几乎和任意的稀疏信号都不相关，也就是说选用高斯随机矩阵作为测量矩阵的话，有很大的可能性能满足CS理论中的相干性约束，并有很大的概率满足限制等距条件。并且用高斯矩阵进行测量时，所需的观测次数较少[5]。而用随机数构成随机矩阵与指定的稀疏矩阵的不相关程度也很高，对于RIP条件也有很高的概率可以满足。除此之外，部分傅里叶矩阵以及伯努利矩阵也经常用来作为观测矩阵。在本次的试验中，重点采用随机数来构造观测矩阵对信号进行测量。

2.3 重构算法

　　当已经选用了合适的观测矩阵对信号进行测量，并得到观测向量后，最后一步工作就是怎样从中“读出”原始信号的内容，即从观测信号中恢复出原始信号。

　　由前面的讨论我们知道，重建信号，就是找出方程中的最优解（就是最稀疏解），然后通过等式就可以恢复出原始信号。

　　然而，由于观测次数远小于信号的长度 ,而观测向量的长度即为，稀疏系数的长度就等于原始信号的长度，,即方程个数远少于未知数个数，则方程是一个欠定方程，存在无穷多组解。而信号与稀疏向量却是唯一的，那么如何从上述方程所构成的解空间中寻找到最优解，则是重建信号的关键所在。然而这里的信号是稀疏的（或者是可压缩的），而且观测矩阵又满足非相干约束和RIP条件限制，那么从欠定方程中寻找的最优解也就变得切实可行。文献综述