① 多项式数应该等于单元自由度数。
② 多项式阶数应包含常数项和线性项。
③ 单元自由度应该等于单元节点独立位移个数。
位移矩阵为 (2.1)
式中, 为单元内任一点位移; 为单元节点的位移; 为形函数。
(3)推导单元刚度矩阵
根据单元的材料性质、尺寸、形状、节点数目、位置,其含义等,找出单元节点力和节点位移的关系式,这是单元分析中的关键一步。此时,需要应用弹性力学中的几何方程和本构方程来建立力和位移的方程,从而推导单元刚度矩阵。
利用弹性力学几何方程,由式(2.1)可导出节点位移表示的单元应变为
(2.2)
式中, 为单元应变矩阵。
由本构方程,导出用节点位移表示的单元应力为: (2.3)
式中, 是与单元材料有关的弹性矩阵。
由变分原理,建立单元上节点力与节点位移间的关系式,平衡方程为:(2.4)
式中, 为单元刚度矩阵,其形式为: (2.5)
(4)计算等效节点载荷
划分网格将连续弹性体结构离散为离散化模型之后,就假定单元体之间不再通过公共边相互作用,而只依靠节点连接和传递力的作用,所以,作用在单元体上的所用的力,都必须全部移置到节点上,形成等效的节点载荷,单元的节点载荷可以用矩阵 表示。
(5)建立单元体集合体的节点平衡整体方程组
以节点为研究对象,作用在其上的力有节点力和节点载荷。根据节点平衡条件可逐点建立平衡方程,从而得到单元集合体节点的平衡方程组,可以表示为:
(2.6)
其中 为整体节点载荷列矩阵, 为整体节点位移列矩阵, 为单元集合体的整体线性刚度矩阵,对于线弹性问题 的元素均为常数,因此节点平衡方程组(2.6)是一个线性代书方程组。
(6)求解
节点平衡方程组中待求的未知量是节点位移 ,求解此代数方程组即可得到所有节点的位移分量。节点位移 求得后,各单元的节点位移 即可知道,从而可以由式(2.2)计算单元应变,由式(2.3)计算单元应力,还可以进一步计算单元的主应力,主平面倾角等。需要时,还可以计算支座反力,还可以令计算机绘制物体变形前后的图形,以及应力和位移的分布图形等。
本课题的有限元分析计算,选择使用的是大型通用有限元分析软件-ANSYS。ANSYS软件当前使用范围最广泛、功能最前大的有限元分析软件,它具有强大的多种分析能力,能够进行包括简单的线性静态分析和复杂的非线性动态分析。其强大的分析能力可广泛用于结构、流体、电磁场、热、声学及碰撞问题、多物理场耦合问题的计算分析。软件包含了前处理、求解、后处理及优化等模块,可完成从建模、网格划分、求解到后处理、优化等有限元分析过程。软件提供了100多种单元类型,可以用来模拟计算各种材料和结构问题。软件可运行于大多数的计算机及操作系统,如Windows、UNIX、Linux等,可以在从PC到工作站直至巨型机等多种计算机设备上运行,并且ANSYS文件在其所有的产品系列和工作平台上均能够兼容。
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