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2 背景知识框架
2．1 含时滞与非时滞系统
如图2.1中所示的阶跃响应系统，是普通的一阶时滞对象。可用方程式表达如下：
（2.1.1）
其中，k表示对象的稳态增益。 表示时滞，T表示时间常量。
考虑图2.2中的反馈控制系统。其中 是控制信号， 是对象的输出。 是对象， 是控制器。本文中我们只考虑PID控制器,其方程如下：
（2.1.2）
我们的目标是确定控制器的参数（ ， ， ）的范围使系统稳定。
首先，我们分析无时滞（ ）的系统：来~自^751论+文.网www.751com.cn/
在无时滞（ ）的条件下，闭环系统特征方程是：
（2.1.3）
因为这是一个二阶多项式，系统的稳定等同于所有系数都具有相同的符号。我们假设对象的稳定增益 是正的，那么我们有：
， ， （2.1.4）
或者
， ， （2.1.5）
现在一个最小的要求就是对任何控制器的设计就是延迟闭环系统要稳定。因此，我们假定，本文中的PID增益使时滞对象稳定，满足上述（2.1.4）或（2.1.5）两个条件其中的一个。
我们考虑时滞对象的相异的零点，我们可以得到系统的闭环特征方程：
（2.1.6）
由于上式中指数项的存在，上面的类多项式的解的个数很可能是无穷的。这是分析研究闭环系统稳定的难点之一。我们可以将 写成如下类多项式：
（2.1.7）
令 ，我们有：
（2.1.8）
其中：
（2.1.9）
（2.1.10）
接下来我们只在以上两种情况下考虑。
2．2 时滞系统的两个稳定性判据
在程序控制过程对含时滞对象的PID控制器的处理存在很多问题。这些时滞系统的特征方程可以被写成如下的形式：
(2.2.1)
其中， ， ， ，是具有实参数的多项式。我们把这种形式的特征方程称为类多项式。
Hermite-Biehle定理只适用于Hermite多项式，而无法适用于任意函数 中的复变量 。
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