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1.5 课题的主要内容
本课题的主要工作是研究直线倒立摆系统的LQR控制问题，用Matlab对倒立摆的LQR控制系统进行仿真，得出系统的最优控制条件,最后以固高二级倒立摆进行了实时控制效果的观察。本课题以下提到的倒立摆都指直线二级倒立摆。具体内容如下：
(1) 简单介绍倒立摆的工程背景、意义分类、特性等以及倒立摆国内外的发展现状。
(2) 倒立摆的模型及定性的分析首先以固高二级倒立摆系统为模型【8】，了解了二级倒立摆的结构及工作原理，然后建立的倒立摆数学模型线性化处理【9】，得到状态空间方程；应用现代控制理论，分析倒立摆系统的稳定性、能控性、能观性，证明倒立摆系统开环是不稳定的，是在平衡位置是能控的和能观的。
(3) 最优控制理论的简介【10】叙述了最优控制理论的发展及其原理，分析了LQR的原理、以及在设计调节器时如何选取Q和R以及选取时需要考虑的因素最后总结出最优控制的设计步骤。
(4) LQR控制器的设计及仿真利用Matlab程序【11】对LQR控制器进行仿真分析，并通过改变LQR控制器的参数，观察仿真，选取合适的控制参数从而得出最优控制。最后连接固高二级倒立摆系统，进行LQR控制实时控制，将仿真得到的最优控制参数输入，进行实时控制【12】，观察控制效果，实现倒立摆的摆杆角度和小车位置的同时控制。
2 倒立摆系统建模与分析
2.1 二级倒立摆的结构和工作原理
当人用手托起一根立起的竹竿时，他会通过手臂的不断移动来保持平衡，使竹竿不倒。假如两根竹竿上下在一起（自由连接），还能长时间保持稳定直立么？通过实验仪器将这样的两根棍在自由连接状态下立起来，最下边的一根棍与滑轨上的一个小车自由连接。通过小车在滑轨上左右移动来保持两根棍上下立在一起不倒。从科学的角度讲，这就叫二级倒立摆。二级倒立摆装置如图2.1 所示。
本课题采用的是深圳固高公司的直线二级倒立摆实物系统, 倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC机组成的控制平台等三大部分。
直线倒立摆本体：直线倒立摆本体（参见图2.1）由基座、交流伺服电机、同步带、带轮 、滑竿、滑套、滑台、摆杆、角编码器、限位开关等组成。小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电气控制箱：电控箱内安装有如下主要部件：交流伺服驱动器、I/O接口板、开关电源、开关和指示灯等电气元件。
控制平台：控制平台主要由以下部分组成：与IBM PC/AT机兼容的PC机、GM400运动控制卡、GM400运动控制卡用户接口软件、演示实验软件。
图2.1 二级倒立摆实物图
图2.2 固高二级倒立摆系统硬件框图
二级倒立摆系统包括计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘1、反馈测量元件等几大组成部分, 组成一个闭环系统,其硬件框图如图2.2所示。其中, 光电码盘1由伺服电机自带,可以根据码盘的反馈通过换算得到小车的位置, 小车的速度信号可以通过差分法得到；摆杆1和摆杆2 的角度由光电码盘2和3测得并且直接反馈到控制卡。
2.2 数学建模的方法
所谓系统的数学模型就是利用数学结构来反映系统内部之间、内部与外部某些因素之间的精确的定量的表示。它是分析、设计、预报和控制一个系统的基础，所以要对一个系统进行研究，首先要建立它的数学模型。
建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本课题采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。Lagrange方程有如下特点：
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