其中, 是系统的状态变量, 是外部扰动输入, 是系统的被调输出。
平方和信号 的大小可以用 范数来度量: ,其中 。
若使离散系统(2.2.1)的EE增益满足: 常数 。可将问题等价转化为
, (2.2.2)
求解过程可以转化成为LMI求得一个最小值 ,这样一个值 成为系统(2.2.1)的最优 性能指标。这些都是可以证明得到的 。
定义2:如果系统(4.1.1)是指数稳定的,并且在零初始条件下,对 有 成立,则称该系统具有满足 的 性能。
2.4 平均驻留时间
对于所有子系统都是稳定的切换系统,我们只要使得其切换时间间隔不小于 ,就能使得整个系统稳定,这个时间间隔 我们称之为驻留时间。驻留时间的方法在线性系统取得了巨大的应用。但是这种方法在非线性的情况下经常是不适用的,因为可能存在有限的逃离时间,所以引申出了平均驻留时间 的方法,对于切换系统,它是一种非常重要且有效的工具。
定义3:在切换信号 的作用下, ,我们定义 为在时间 内切换信号 的切换次数,如果对 ,有 ,我们称 为平均驻留时间。
3 时滞切换离散系统的指数稳定性分析
3.1 问题的描述
考虑下面的时滞切换离散系统
其中, 是状态变量, 是时滞状态变量,并且假设 ,输出 , 是系统(3.1.1)的初始状态。定义 为自然数集,切换信号 。
系统(3.1.1)的切换规则 如下
(3.1.2)
其中, 是切换时刻,并且有 是初始时刻。也就是说,当 时,第 个子系统有效。
定理1:如果存在 矩阵 , , ,常数 和任意 使得对 都有
那么时滞切换离散系统(3.1.1)在满足平均驻留时间
的切换信号 是指数稳定的。需要补充的是若 ,则 ,等价于公共Lyapunov函数法,满足于以上条件的系统在任意切换信号下都是指数稳定的。
3.2 证明及分析
因为矩阵 ,所以矩阵 0成立,那么就有
将(3.2.13)加到 (3.2.12)中,得到
将(3.2.3)~(3.2.7)带入其中 ,将(3.1.3)通过Shur补性质转化 = ,所以可得 ,即 。
由(3.1.5)得对于 有 。
假设,在k时刻一共经过 次切换,即 ,其中 是平均驻留时间,那么我们可得
取 ,得平均驻留时间 ,取
+ + ,我们可以得到 。即系统(3.1.1)指数稳定得证。
3.3 仿真分析
考虑时滞切换离散系统(3.1.1),其中令 , , ,
,
使用MATLAB里的LMI工具箱可以求出 ,由(3.1.4)得 =3.09,
我们选择 , 仿真结果如下: 图3.3.1 切换信号 图3.3.2 系统状态轨迹 图3.3.3 系统输出
由上图可见,在平均驻留时间大于3.09的切换信号(图3.3.1)的工作下,由图3.3.2可见该系统的状态变量是逐渐趋于并且达到平衡状态 的,相应的输出y最终为0,整个系统是指数稳定的。
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