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边界条件 (3-6)
初始条件 (3-7)
动量守恒方程式要求在求解区域内处处满足,直接求解这组方程几乎是不可能的。数值计算方法从微分方程的弱形式出发,只要求动量方程在内积意义下满足。
取虚速度为加权系数,利用加权余量法,动量方程的弱形式可以写成
(3-8)
式中, 为虚速度。利用分部积分,式(2-8)可以写成
(3-9)
式(2-9)即为动量守恒方程,面力条件的弱形式,称之为虚功率方程。
同弹性力学有限元法中求解虚功率工程一致,虚功率方程式((2-9)的数值求解是首先将结构空间离散化,质点x在任一时刻的空间坐标xi(X,t)为
(3-10)
式中,NI为节点I的形函数,重复下标表示在其取值范围内求和。
由此可得单元内任一点X的位移为
(3-11)
式中, 为节点I的位移,同理,单元内任一点的速度、加速度、变形率以及虚速度可表示为
(3-12)
将上述各式写成矩阵形式,并代入虚功率方程式((2-9)中,整理后得
式中,
为系统质量阵,与时间无关,只需要在初始时刻计算即可。求解方程式(3-13),可得当前时刻下的节点位移uI。进而求得当前时刻的结构应变与应力。
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