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摘要分离变量法是求解微分方程的一种很重要的方法，对偏微分方程来说，一般情况下很难将其解的表达式求出来，将复杂的偏微分方程通过变量分离转化为较简单的常微分方程，从而可借助于常微分方程的求解理论将PDE的解求出。本文拟对分离变量法进行总结，给出其在求原函数、ODE的求解、PDE的求解等几个方面的应用，从而对分离变量法有更深入的理解。在充分利用分离变量法的同时，进一步探讨分离变量法在分数阶方程和Hamilton体系下运用分离变量法的可行性，从而对微分方程的解有更深刻的认识。27143
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毕业论文关键词 分离变量法 微分方程 运用和可行性
毕业设计说明书外文摘要
Title Application of separation of variables in Differential Equations
Abstract
The separation of variable method is a very important method for solving differential equations. For partial differential equations，in general, it is hard to get the expression of its solution. The complex partial differential equation is transformed to simple ordinary differential equation through variable separation. Thus, the solution of PDE can be obtained by solving the ordinary differential equation. In this paper, we will summarize the separation variables method. Given its original function, the solution of ODE, the solution of PDE and other aspects of the application. Thus, the separation of variable method has a deeper understanding. In the full use of the separation variable method, the feasibility of the separation variable method is further explored by using the separation variable method in the fractional order equation and the Hamilton system. Thus, the solution to differential equation is more profound.
Keywords The method of separation of variables Differential equation Application and feasibility
目 次
1 引言（或绪论） 1
2 分离变量法解常微分方程 2
2.1 常微分方程中分离变量法的应用 2
2.2 利用换元法可化为能用变量分离法解的常微分方程 2
2.3 凑微分法和分项组合法可化为能用变量分离法解的常微分方程 3
3 分离变量法解偏微分方程 4
3.1 波动方程中的分离变量问题 4
3.2 热传导方程混合问题的分离变量法 6
3.3位势方程中的分离变量法8
4 Sturm-Liouville问题11
4.1 Sturm-Liouville问题的相关定义11
4.2 Sturm-Liouville问题的主要结论和证明12
5 分离变量法在分数阶微分方程中的运用17
5.1分数阶扩散方程17
5.2分数阶Fokker-Planck方程18
结论 20
致谢 21
参考文献22
1 引言
说到分离变量法，就不得不提到微分方程，因为分离变量法不仅是在求解微分方程过程中被提出的，而且是在这个过程中不断被完善发展的。一般地，微分方程包括常微分方程和偏微分方程，是指含未知函数及未知函数导数的方程。它起源于17世纪物理学的探索。17世纪末，分离变量法在常微分方程中首次被提出。分离变量法的特点是经过变量的分离，把微分方程的解分成几个分别只含一个变量的函数的乘积的形式，然后将所得的特解做适当线性组合，就可以得到微分方程的解。由于该法在求解微分方程时体现出一定的优越性，所以吸引了众多专家学者的注意，在他们不懈地努力下，分离变量法从常微分被逐步引入到偏微分，从线性领域跨越到非线性领域，甚至求解体系从欧式空间渗透到辛空间。利用分离变量法，甚至可以导出三文的非齐次时间分数阶扩散方程和非齐次时间分数阶扩散-波动方程的初边值问题的基本解.