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而在实际应用中,比如雪球融化问题、
化学
反应问题、跳伞的速度问题等等,都涉及到可分离变量的常微分方程,运用这一
数学
模型可以解决。此外,对二阶椭圆型方程进行Hamilton体系下的分离变量法能够求出此方程某个形式的通解。这些例子都说明了分离变量法在各个领域中的广泛应用.
2 分离变量法解常微分方程
2.1 常微分方程中分离变量法的应用
分离变量法可以用来解一类常微分方程以及通过换元法(即凑微分法 )可转化为通过分离变量法能进行变量分离的微分方程.用分离变量法能解常微分方程的方程类型为 :
解这类微分方程就是分别把关于x ,y的表达式写在等号的两边 ,这样可以将两个变量 分离到方程的两边,然后方程两边分别求其不定积分,就可以得到常微分方程的通解.分离变量法解微分方程的具体步骤如下 :
第一步,分离变量.当 时,我们可以将方程两边同除以 ,再同乘以 ,得
第二步,两边求不定积分.
第三步,求出不定积分,得到微分方程的通解.
实例 1 1838年荷兰数学家韦尔侯斯特 (Verhulst)提出的一个自然环境条件所能容许的最大人口数 的人口预测模型,即 Logistic人口模型:
是一个可以用变量分离法求解的一阶常微分方程,具体解法是:变量分离
两边求不定积分,且化简后得
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