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摘 要: 微分方程中方程解的稳定性的研究中, 经常使用的是李雅普诺夫第二法, 使用该方法分析研究方程解的稳定性, 最主要的是如何构造李雅普诺夫函数(V函数). 此文章主要是分析李雅普诺夫第二法的有关理论. 介绍有关的函数构造的方法和类型, 以及如何运用李雅普诺夫稳定性原理对方程解的判断研究及分析.29567
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毕业论文关键词: 李雅普诺夫定理; 稳定性; V函数.
Lyapunov function constructed in the theory of stability
Abstract: Study on the stability of solutions of differential equations in the Frequent use of the Lyapunov second method, stability analysis of solution of the equation using the method, the key is how to construct the Li Puya Lyapunov function (V function). This article is mainly about the theoretical analysis of Li's second method belonged. The method and the type of the function structure, and how to use Li Puya Lyapunov stability theory of differential equation solution to determine the research and analysis.
Key Word: Lyapunov; stability; V function.
目 录
摘 要. 1
引言 2
1 预备知识 3
1.1 Lyapunov函数的定义 3
1.2 Lyapunov 函数的定理 3
1.2.1 Lyapunov函数的定理的证明 3
2. Lyapunov稳定性 7
2.1 Lyapunov稳定性的定义（驻定情况） 7
2.2 Lyapunov稳定性的定义（非驻定情况） 8
3 Lyapunov中的V函数 8
3.1 Lyapunov函数的V的定义 8
3.2 Lyapunov 中V函数的构造 11
3.2.1 V函数的构造方法一 11
3.2.2 V函数的构造方法二 12
4 Lyapunov中V函数在模型中的应用 14
参考文献 17
致谢 18
关于Lyapunov稳定性理论中V函数构造
引言:Lyapunov函数是由俄国的数学与力学专家, 亚历山大 米哈伊文奇 Lyapunov在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中首次提出的. 经过一百多年的传播和发展, 如今, 该理论已经被数学界、力学界广泛应用. 该理论有如此的影响, 是因为稳定性理论是研究某个静止或者是运动的系统, 在各种偶然或者是持续的干扰下, 系统是否可以保持预想的状态或者是理想的状态中的运动规律以及方式. 不至于系统处于摇摆不定, 动乱不宁的一类重要问题.
众所周知, 系统的不稳定性, 小的时候系统就会无法正常工作, 大的时候会给人类带来灾难性的恶果. 所以, 稳定性的研究自然就成为了一种重要的研究. 它是关系到国家人民生活的一门重要的学科. Lyapunov首次给出了系统运动稳定性的科学的严格的定义. 如果没有Lyapunov给出的关于系统稳定性的科学的定义, 稳定性也不太可能能成为一门重要的学科. 所以, 首次提出稳定性理论, 并且给出了科学的定义, 毫无疑问的成为了稳定性科学, 协和一门学科的基石. 在这里, 应对Lyapunov博士表达最真诚的感谢!
1 预备知识
1.1 Lyapunov函数的定义
设 为平面向量所确定的函数, . 且恒有 . 则对平面区域中的任何非零向量 , 若有:
, 则 是正定的.
, 则 是半正定的.
, 则 是负定的.
, 则 是半负定的.
符号不确定, 则 是不定的.
1.2 Lyapunov 函数的定理
在一个存在李雅普诺夫函数的 函数方程中, 若 , 称方程的定点是稳定的.
在一个存在李雅普诺夫函数 , 称方程的定点是渐进稳定的.
在一个存在李雅普诺夫 的方程中, 若除了原点之外, 均有 , 则就称作方程的定点是不稳定的.