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对于函数 , 若函数 是正定的, 当且仅当 . 同时成立; 若函数 是负定的, 当且仅当 同时成立.
1.2.1 Lyapunov函数的定理的证明
例1 分析讨论系统 零解的稳定性.
解: 设 .
该方程化为等价的微分方程组
，
取 . 显然 是正定函数.
通过计算可以得到 沿轨线的全导数
.
显然这是一个负定函数.
通过定理2就可以判断出该系统的零解是渐进稳定的.
然而, 当取 时, 就可以通过计算求得
. 很明显, 是负半定的.
根据定理1可得到零解稳定. 但是却得不到渐进稳定性.
因此, 构造出恰当的V函数是很重要的. 如果一个系统的零解是渐进稳定的, 可是因为构造出的V函数可能不准确, 用定理1来证明得到了它是渐进稳定的. 还有另外一种可能性, 就是构造出的V函数, 它可能仅仅只能证明系统的零解是稳定的. 然而, 也可能根本就不能构造出来V函数. 因此, 它连零解的稳定性也没有办法得到. 因此, 应该正确使用李雅普诺夫函数来判断稳定性. 如果没有办法找到满足稳定性定理条件的V函数. 就没有办法来判断零解是不稳定的. 并且构造的李雅普诺夫函数不一样的时候, 零解的判断是不是渐进稳定的, 也会因此而有差别. 定理1, 定理2, 定理3给出了自治方程的零解的稳定、渐进稳定以及不稳定的充分条件. 但是, 这并不是必要条件.
例2 用二次型V函数证明系统
的零解是渐进稳定的.
证明: 取 . 则若取 , 则