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第四章，运用本文提出的基于改进粒子群算法的投资组合优化模型，对国内股票投资组合优化问题实例进行求解，对结果的优劣与基本粒子群算法所得结果进行比较分析，运用实证分析方法证明所提出模型和方法的有效性。
第五章，总结和提出本文研究的结论，对基于改进的粒子群算法的投资组合优化模型未来的理论研究和在实际生活中的应用作出现实展望。
2 投资组合优化与选择相关理论和方法
目前，金融投资的基本原则之一是投资多样化，不再将总资产全部投资于单个投资对象，而是将给定资产按照一定比例分散投资于不同金融产品，以期在给定收益水平的约束下，最小化风险，这就涉及到投资组合优化。
2．1 投资组合优化问题的提出
1952年，美国经济学家Markowitz在《财务学杂志》上发表了奠基性的论文《投资组合选择》，提出了金融投资组合选择模型。他的模型改变了人们对资产投资组合的思考方式，并开创了现代金融投资组合理论（MPT）。Markowitz均值方差模型选出一个重要的目标函数作为优化的目标函数，而定义剩余的目标函数为约束条件。这一模型是基于两个相互冲突且不可共量的标准的同步优化，即a）投资组合回报，b）与金融损失相关的风险。因此，为了获得最优投资组合，就要求金融决策者根据自身的偏好、经验、直觉以及判断在这些标准之间做出权衡。通过解模型可得到投资者基于对回报和风险的偏好而做出选择的投资组合有效边界，进而做出投资组合选择。
2．2 投资组合优化模型及其特点
解决多目标优化问题的方法有很多，一个基本方法就是将多目标优化问题转化为单目标优化问题来建模，我们可以将这些方法分为两个不同类型。Markowitz均值方差模型就是一种替代方式，它选出一个重要的目标函数作为优化的目标函数而定义剩余的目标函数为约束条件。这一模型是假设资产收益率呈正态分布，并认为资产之间的依赖性不随市场的衰退或复苏而产生变化，模型对收益和风险的两个冲突变量进行同步优化；第二种替代方法是通过给多个目标函数分配权重，构建唯一一个用于优化的评估函数，如夏普比率模型，它实际上是在简化均值-方差模型。Markowitz均值-方差模型被作为投资组合优化理论的起点，此后的许多研究都是基于对它的理论进行改进，如对于提出不同风险度量，引入模糊集理论等等。然而，Markowitz均值-方差模型最大的优点在于它利用了均值和方差来代替收益和风险，在很大程度上简化了效用函数，使得计算更加方便，增加了模型求解的现实可操作性。针对它的不足之处，下文将通过对不同模型的比较来提出。接下来简述Markowitz的均值-方差模型。
2.2.1 Markowitz的均值-方差模型
在Markowitz的均值-方差模型中，将风险投资组合构建的有价证券选择作为一个目标函数。第一个约束条件是，所有有价证券的投资比例加和等于1，这就需要对投资总额进行分配；第二个约束条件是，投资组合的多样化，为了进行资产风险管理，投资者需要对有价证券进行多样化投资。现假定投资者选择 种风险证券进行组合投资，投资比例为 ， 是不同资产的数量， 是资产 和 收益之间的协方差， 是投资组合中每个股票的权重， 是第 种证券的期望收益率， 是投资者预先给定的收益水平