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1.1定积分的定义
定义1 设函数 在闭区间 上是连续的,区间 被分割成 个子区间 , , , , ,其中 , .则可知各小区间的长度依次为
, , , .
从每个小区间 中任意取一点 ,作和式
.
则存在常数 ,满足 为 在 上的定积分,即
,
当 时( ), 为上述和式的极限.其中被积函数是 ,积分变量是 ,积分区间是区间 ,该定积分的下限是 ,下限是 .
1.2二重积分的定义
定义2【2】 设 是定义在可求面积的有界闭区域 上的有界函数,如果把区域 分成 个小面积的任意区域: , , , ,而 既表示第 块小区域,又可表示该小区域的面积,现从小区域 内任意取一点 , ,可作和式
.
其中 中任何两点之间距离的最大值用 表示(也就是说 是 的直径),记 ,如果不管 如何分割,点 在 中如何选取,当 时,所有的和式都将趋于同一常数 ,此时,函数 在区域 上的二重积分就是常数 ,且记 ,即
,
我们就说,在积分区域 上被积函数 是可积的,的这里 , 是积分变量, 是被积表达式, 是积分面积微元.
1.3极坐标系的定义
定义3 在平面内,取一定点 并从该点引出一条射线 ,则该定点称为极点,引出来的射线就称为极轴.截取一定长度作为长度单位,然后选定角度的正方向(常常把逆时针的方向作为正方向).在平面内任意找出一点,记为 ,若线段 的长度用 表示,从极轴 到 的角度用 表示,那么 就叫点 的极径, 就叫点 的极角,而有序数对 就叫点 的极坐标,像这样的坐标系就统称极坐标系.
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