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根据假设,每个病人每天可使 个健康者变为病人,因为病人数为 ,所以每天共有 个健康者被感染,于是 就是病人数 的增加率,即有
(3)
又因为 (4)
再记初始时刻( )病人的比例为 ,则
, (5)
方程(5)是1.5节中出现过的Logistic模型。它的解为
(6)
和 的图形如图1和图2所示。
图1 SI模型的 曲线
图2 SI模型的 曲线
由(5),(6)式及图1可知,第一,当 时 达到最大值 ,这个时刻为
(7)
这时病人增加得最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻。 与 成反比,因为日接触率 表示该地区的卫生水平, 越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第二,当 时 ,即所有人终将被感染,全变为病人,这显然不符合实际情况,其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设,下面两个模型中我们讨论可以治愈的情况。
模型3(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以这个模型称SIS模型。
SIS模型的假设条件1,2与SI模型相同,增加的条件为
3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ,称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然 是这种传染病的平均传染期。
不难看出,考虑到假设3,SI模型的(3)式应修正为
(8)(4)式不变,于是(5)式应改为
, (9)
我们不去求解方程(9)(虽然它的解可以解析地表出),而是通过图形分析 的变化规律。定义
(10)
注意到 和 的含义,可知 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为解除数。
利用 ,方程(9)可以改写作
(11)
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