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摘要：矩阵求逆是高等代数的一个重要内容.该文对矩阵求逆的方法进行了体系的概括和总结, 这些求逆矩阵的方法包含定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法等, 并通过具体实例对这些方法的使用加以说明, 以便对今后的学习有更多的帮助.39173
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毕业论文关键词：逆矩阵；初等变换；初等矩阵；伴随矩阵；分块矩阵.
Inverse matrix method
Abstract: Matrix inversion is an important content of higher algebra. In this paper, the matrix inversion method to carry on the system summary and summarized, the method contains definitions of inverse matrix method, adjoint matrix method, the elementary transformation method, partitioned matrix method, the solution of equations method, etc., and the use of these methods through the example to illustrate, in order to have more help to the future study.
Key words: Inverse matrix; Elementary transformation;Elementary matrix; Adjoint matrix; Partitioned matrix.
目 录
摘要.1
引言.2
1. 矩阵的基础知识3
1.1矩阵的定义及性质3
1.2逆矩阵的定义与性质5
2.逆矩阵的求法6
2.1用定义求逆矩阵6
2.2用伴随矩阵求逆矩阵7
2.3用初等变换求逆矩阵8
2.4用分块矩阵求逆矩阵.12
2.5用解方程组求逆矩阵.13
2.6用Hamilton-Caley定理求逆矩阵14
2.7用克莱姆法则求解.15
2.8恒等变形法求逆矩阵.17
参考文献.19
致谢20
求逆矩阵的方法
引言
矩阵是数学中的一个主要的基本概念和代数学的重要钻研对象之一, 同时作为一个重要的工具应用于数学钻研中.西尔文斯特为了区分练习的矩行阵列区和行列式, 最先给出“矩阵”一词.事实上, 矩阵在其课题产生以前就已经发展的很好了.
1750年左右, 数学家们开始探讨二次型的化简, 他们从中获得了很多与后来的矩阵理论紧密相连的观点和结论.1748年, 瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707—1783)在三元二次规模, 隐蓄的定义了特征方程.1773年, 法国数学家拉格朗日(J．L．Lagrange，1736—1813)在计议多项式的次数为齐次时引进了线性变换.1801年德国数学家高斯(C．F．Gauss，1777一1855)在欧拉和拉格朗日二次理论运算中采用了该方法.文献[1], 文献[2]中提出矩阵在《线性代数》中占有很大的比重, 指出用矩阵的思想去解决实际问题既简略又迅速.逆矩阵在矩阵的理论和实践中也很重要， 比方解线性方程组能够采用逆矩阵，文献[4]则更进一步讨论了这类方法.当矩阵的阶数较高时用伴随矩阵法求逆矩阵一般比较麻烦, 为了更便捷地求矩阵的逆, 文献[5]首先把矩阵 分化, 然后根据三角形矩阵求逆的迭代算法得出求逆矩阵的简便方法.文献[12]从幂等阵, 可交矩阵的特性出发, 给出了判定只有两个特征值的矩阵的可对角化问题.文献[9], 文献[6]在逆矩阵、哈密尔顿-凯莱定理、线性方程组等相关问题的前提下, 陈列出了求逆矩阵的几种方法, 即（1）使用定义法求逆矩阵;（2）操纵哈密尔顿-凯莱定理去求逆矩阵;（3）三角矩阵法求逆矩阵;（4）线性方程组法求逆矩阵.它们不仅能辅助我们快速地处理一些繁琐的求逆矩阵的题目, 还有利于我们更好的学习线性代数.把握好它, 将为我们今后在数学领域的进修提供很大的帮助.文献[8]提出矩阵的逆问题在矩阵论中占有重要位置, 可以说, 有矩阵地方, 大部分都会采用到逆矩阵.
随着对逆矩阵的一步步摸索, 其出现的地方愈来愈多, 在数理统计和线性规划及经济学、数值分析等范畴的很多方面都要用逆矩阵去完成.起先, 对矩阵及其逆矩阵的定理和性质进行了归纳, 并依据高等代数的基础材料, 对求逆矩阵的方法进行了探讨, 给出了列初等变换与行初等变换法、伴随矩阵法、分块矩阵法等去求逆矩阵的方法.其中在用初等变换法求逆矩阵, 现行课本提出了只能用初等行变换或初等列变换去求逆矩阵, 而本文推出了同时使用行变换、列变换的方法求解逆矩阵.