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1.矩阵的基础知识
1.1矩阵的定义及性质
定义 用 个数 构成一个 行 列的数表
叫作一个 行 列(或 )矩阵. 叫做这个矩阵的元素.
为 阶矩阵或 方阵时 .
当矩阵 , 中的 , , 那么矩阵 与 是同型矩阵.
对应元素相等的两个同型矩阵 和 相等, 即 , , , 写作 或 .
若 , 矩阵 ( )称作行矩阵或行向量.
矩阵 作为矩阵的列或列向量时 .
形如
的 阶方阵叫做对角矩阵或对角方阵, 记作 .
对角矩阵为 阶数量矩阵时 .
矩阵是 阶单位矩阵时 , 记为 或 ,在阶数不混淆的前提下, 简写成 或 , 即 .
形如
的矩阵称做上三角矩阵.
形如
的矩阵叫做下三角矩阵.
性质1 矩阵加法的运算律:
加法交换律: ;
加法的结合律: ;
,其中 都是 矩阵.
性质2 矩阵数乘运算的规律:
;
;
, 为 矩阵, , 为任意实数.
性质3 矩阵乘法的相关规律及性质:
结合律: ;
分配律: , ;
数与乘法的结合律: ;
当 均为 阶方阵时, 有 ; ; .
性质4 矩阵乘法不存在交换律:
例1 已知 , .求 和 .
解 , .
1.2逆矩阵的定义及其性质
定义 对于可逆的 级方阵 , 存在 级方阵 ,满足 ,其中 是 级单位矩阵.
根据矩阵的乘法法则知, 满足 的矩阵仅有方阵, 而对每个矩阵 , 合适等式 的矩阵 仅有一个（如有的话）.实际上, 假如 是两个符合 的矩阵, 于是
.
关于满足 的矩阵 称为 的逆矩阵,叫做 .
性质1 可逆矩阵 的逆矩阵是唯一的.
证明 设 都是 的逆矩阵, 那么有
,
进而 的逆矩阵是独一的.
性质2 可逆, 则 也可逆, .
性质3 假设 可逆, 并且 ( ), 可得 也是可逆矩阵.
性质4 假定 为可逆的, 可知 也为可逆的, 于是 .
性质5 假如 都为 阶可逆矩阵,可得 可逆, 有 .
证明 因为 , .
所以 是可逆的, 并且
.
2 逆矩阵的求法
2.1用定义法求逆矩阵
设 在数域 上是一个 阶方阵, 假定 上有 阶方阵 满足 , 则称 是可逆的, 且 为 的逆矩阵.当矩阵 可逆时, 逆矩阵由 惟一确定, 记为 .