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(一) 广义Cantor七分集的构造 12
(二) 广义Cantor七分集的基本性质 13
1. 性质1 H有孤立点。 13
2. 性质2 H是可测闭集。 13
3. 性质3 H没有内点。 13
4. 性质4 H是疏朗集。 14
5. 性质5 [0，1]\H是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1，即mH=0。 14
6. 性质6 H的维数是0.56。 14
7. 性质7 H的基数等于c。 14
七. 广义Cantor 2i+1分集的构造及其性质 15
(一) 广义Cantor2i+1分集的构造 15
(二) 广义Cantor 2i+1分集的基本性质 16
1. 性质1 M有孤立点。 16
2. 性质2 M是可测闭集。 16
3. 性质3 M没有内点。 16
4. 性质4 M是疏朗集。 16
5. 性质5 [0，1]\M是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1，即mM=0。 16
6. 性质6 M的维数是logilog2i+1。 17
7. 性质7 M的基数等于c。 17
八. 结论 18
表目录
图1广义Cantor三分集 6
图2广义Cantor五分集 10
图3广义Cantor七分集 13
引言
集合论自19世纪70年代由德国数学家康托尔(G.Cantor 1845-1918)创立以来，不断促进着许多数学分支的发展，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按照现代数学公认的观点，不管是数学的任一分支的研究对象，还是数学本身，都有某种特殊结构的集合, 或者这些是可以用集合的方式来定义的（比如：实数和函数）。所以说在很大程度上，当今数学的基础就是集合论，并且在数学的知识当中，集合论可以被称为最富创造性的伟大成果之一。
康托尔创立的三分集在众多学者的不断研究中已经逐渐往更广的方向发展。文献[1]介绍了基础的Cantor三分集，并给出了Cantor三分集的一些基本性质。我在学习这部分知识的过程中对Cantor三分集产生了最初的兴趣，进而在老师的启发下产生了写作本文的想法。而后通过查阅文献我们发现：胡晓梅在文献[2]中将Cantor三分集做了推广，研究了2n+1等分的Cantor集（即Cantor 2n+1分集），得到了Cantor 2n+1分集的一些基本性质。李艳红[3]和李鹤为[4]在Cantor三分集的基础上采取不同的方式，以对称不等分的方式构造了三分集，这在Cantor三分集的研究方面提供了一种特别的方向。张琦在文献[5]中研究了五等分的Cantor 五分集的维数，以及研读更多有关的参考文献[6]~[12]。通过研读文献我们发现，这些文献中的构造方法均同Cantor三分集的构造过程雷同，均是通过等分区间后去掉的偶数项开区间的方法进行构造。
有鉴于此，我想换一种方式来构造三分集，即三等分目标区间后去掉奇数项开区间，这样获得的集合我们称之为广义Cantor三分集，并将这种构造方式推广到广义Cantor五分集、广义Cantor七分集和广义Cantor 2i+1分集。为了叙述方便，本文将通过等分目标区间后去掉奇数项开区间所得到的集合称之为广义Cantor集。本文的目的就是结合Cantor三分集的性质，类似地研究广义Cantor集的性质，通过从特殊到一般的研究方法，探讨广义Cantor 2n+1分集的性质。