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预备知识
Cantor三分集的定义
Cantor三分集的定义：假设区间J=[0，1]，对J进行三等分，在J的中心去掉开区间（1/3， 2/3）；然后对剩下的两个区间[0,1/3]与[2/3,1]，在区间中心也分别去掉的一个长度为3^(-2)的开区间（1/9， 2/9）与（7/9， 8/9），接着在剩下的4个区间的中心，再分别去掉一个长度为3^(-3)的开区间。按照这种方式不断进行下去，这样可以得到一个集合P，集合P称为Cantor三分集。
可测集的定义
可测集：设E⊂R^n，如果对任一点集T，都有m^* T=m^* （T∩E）+m^* （T∩E^c）则称集合E是L可测的，此时集合E的L外侧度m^* E称为E的L测度，记为mE.
疏朗集的定义
疏朗集：对于任意一个点集E（不限于R^1）。如果它具有以下性质：在集合内的任意一个邻域内一定包含某一个点的一个邻域，其中不含E的点，则称E为疏朗集，或无处稠密集合（E是疏朗集合的特征是E没有内点）。
集合基数的定义
集合的基数：对任何集合A，B，若A和B对等，则称它们有相同的基数,源^自#751:文,论/文]网[www.751com.cn，记为A ̿=B ̿，在这里用c代表全体实数所组成的集合R的基数，并且将c称作连续基数。
豪斯多夫维数的定义
豪斯多夫维数：假设我们把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的1/m，那么这个图形的维数就是logN⁄logm 。
Cantor三分集的性质
根据Cantor三分集的定义，以下同样称集合P为Cantor三分集。
性质1 Cantor三分集是完备集
由于P的邻接区间的做法，它们中的任何两个之间根本不存在公共端点，故P没有孤立点，因而P自密；又因为P是删去可数个开区间得到，故P是闭集。因而Cantor三分集P是完备集。