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解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一类具有特性的函数。解析函数的许多重要性质要利用复变函数的积分（简称复积分）来证明，例如 “ 解析函数的导数连续 ” 及 “ 解析函数的各阶导数存在 ” （柯西积分公式）等等。总之 ， 复积分作为研究解析函数的一个重要工具，有着研究的必要性。复积分的方法多种多样，较为常见的有 柯西积分定理法、柯西积分公式法、留数定理法、洛朗级数法、复合闭路定理法以及参数方程法。各方法之间存在区别于联系，并且在不同领域中，有着广泛的应用。59565
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毕业论文关键词 复积分 解析 函数 围道积分
TiTiTiTi tle tle tle tle summing and application s of Complex variable along thecontour integralAbstract Abstract Abstract AbstractAnalytic function theory of complex functions is the main research object,which is a class of characteristic functions. Many important propertiesof analytic functions of complex variable functions to take advantage ofthe integral (abbreviated complex integration) to prove, for example, "thederivative of analytic functions continuous" and "analytic function of thefirst derivative exist" (Cauchy integral formula) and so on. In short, thecomplex integration of analytic functions as an important tool, with theneed to study. Complex integration of ways, more common method of Cauchyintegral theorem, Cauchy's integral formula method, the residue theoremFrance, Laurent series method, the composite closed Theorem France andparameter equation method. The method distinguishes between the contact,and in different areas, has a wide range of applications.
Key words Complex integration contour integral analytic function
目录
第1章绪论.1
1.1研究背景.1
1.2研究内容.1
第2章计算复积分的常见方法.4
2.1参数方程法计算复积分.4
2.2柯西积分定理及其推论计算复积分.5
2.3柯西积分公式计算复积分.9
2.4复合闭路定理计算复积分.14
2.5洛朗级数法计算复积分.18
2.6留数定理计算复积分及其应用.27
第3章各种方法的选择原则及其联系.28
第4章复积分在实际问题当中的应用.33
致谢.39
参考文献.40
1 1 1 1 绪论绪论绪论绪论1.1 1.1 1.1 1.1 研究背景 研究背景 研究背景 研究背景在 18 世纪后半叶到 19 世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索 。复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在 19 世纪建立起来的，主要奠基人 ：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯 。 柯西建立了复变函数的微分和积分理论 。 1814 年 、1825 年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理， 182 6年提出留数概念， 1831 年获得柯西积分公式， 1846 年发现积分与路径无关定理 。1.1.1 复变函数概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况 。 在很长时间里，人们对这类数不能理解 。 但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来 。 复数的一般形式是 ： bi a + ， 其中 i 是虚数单位 。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论 。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论 。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学 。 当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一 。复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处 。 但是 ， 复变函数又有与实变函数不同之点 , 它是数学分析在研究领域的扩展 。 在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点 。 这样，才能抓住本质，融会贯通 。复积分研究的对象主要针对解析函数，解析函数的性质做如下概 括：若函数 f(z) 在点 0 z的 ε 邻域内点点可导，则称在点 0 z解析；若函数在区域 D 内点点可导 ， 则称 f(z) 在区域 D 内解析 ； 若 f(z) 在包含 D 的某个开区域解析 , 则称在闭区域 D 中解析。函 数 f(z) 在区域 D( 或点 z) 解析的充要条件 : 在区域 D( 或点 z的 ε 邻域 ) 内各点 u(x,y) 和 v(x,y) 可微并满足 C － R 条件 。 解析函数作为复变函数的主要研究对象，它具有多种性质，像其共轭性、调和性、保角性等微分性质及积分性质等。 [3]1 、微分性质： x y y xv u v u − = = ,。具体表现为共轭性、调和性、保角性1.1 共轭性解析函数的实部和虚部通过柯西 — 黎曼条件互相联系，并不独立。若给定解析函数 w=f(z) 在某点 0 0 0 iY X Z + = 的值 f( 0 z)= i v u 0 0 + , 则可由 v(x,y) 求 u(x,y) 或 由u(x,y) 求 v(x,y) ， 进而求出 w=f(z) 。