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张量是数学、物理和力学等学科的必备工具，也是数学的一个重要分支，物理和力学等学科的发展又促进了专业数学分支的充实和完善。用数学描述自然界物理现象的变化及其运动规律需要引入坐标系。然而，本来与坐标系选择无关的自然规律，其数学表达形式却不得不与坐标系的选择联系在一起，而导致人们对其物理实质不易辨识。张量的引入，则是力图既采用坐标系而又摆脱具体坐标系影响的微妙方法。用张量描述自然界物理现象演变规律所得的结果，在任何坐标变换时具有不变性，所以在本质上具有普遍性，从而张量为基本方程的推导提供了非常有效的数学方法。59564
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毕业论文关键词 矢量 张量 张量的分量 张量分析
Title The theory and application of tensor
Abstract Tensor is an essential tool in the fields of mathematics, physics,mechanics and other disciplines .It ’ s also an important branch ofmathematics. The development of physics and mechanics also contributes tothe enrichment and improvement of the professional branch of mathematics.There ’ s a need of the introduction of coordinate system when we usemathematics to describe the physical phenomena. However, the physicalphenomena have nothing to do with the selection of coordinate system, butits mathematical expression links to the choice of the coordinate system.It will make people hard to deal with the physical problem. When we usetensor to describe physical phenomena of the nature , the result of theproblem obtains in any coordinate transformation. Thus, tensor providesa very effective mathematics method for the derivation of the basicequation.
Key words tensor vectors t ensor a lgebra
目次
1 引言 . 1
2 张量概念 . 1
2.1 N 维空间与坐标转换 . 1
2.2 指标与排列符号 . 2
2.3 逆变矢量与协变矢量 .. 3
2.4 二阶张量 .. 5
2.5 高阶张量 .. 7
3 张量代数 . 7
3.1 张量的加法、减法与乘法 7
3.2 缩并与内乘 . 8
3.3 商定律 8
3.4 度量张量 .. 9
3.5 二阶共轭对称张量 . 10
3.6 二阶张量的本征值与本征矢量 . 12
4 张量分析 .. 14
4.1 克里斯托费尔符号 . 14
4.2 矢量的协变微分 .. 17
4.3 张量的协变微分 .. 17
4.4 协变微分法规则 .. 19
5 张量分析在变形体力学中的应用 20
5.1 物质坐标和空间坐标 20
5.2 应力张量 20
5.3 应变张量 23
5.4 位移梯度张量及其极分解 . 24
5.5 变形速度张量 . 25
5.6 介质中曲面的移动和传播 . 26
5.7 本构方程 26
结论 .. 28
致谢 .. 29
参考文献 30
1 1 1 1 引言引言引言引言物理学定律不可能依赖于研究者为了描述某一物理现象所选择的坐标系。张量分析的主要目的正是给人们提供一种数学工具，它可以满足一切物理重要定律的重要特征，即它的坐标系的选择无关。如果在一些特殊的坐标系中，例如直角坐标系、柱坐标系或球面坐标系等，写出的物理方程，其形式都不一样，这样不但演算麻烦，而且容易混淆物理问题的本质。但是如果采用张量的表达形式，则这些方程不论在什么坐标系中都具有相同的形式。因此人们用张量分析来讨论问题时，只要证明列示的方程在一个选定的坐标系里是正确的，则它在所有的坐标系里也都是正确的，也就是说无需再在每个坐标系里去验证。对于同样的一个物理学问题，用张量形式写出的方程与用其他数学形式写出的方程相比，不仅本质上具有普遍性，而且由于符号的对称与简洁，使得方程精炼而完美。张量概念起源于高斯 （ Gauss ） 、 黎曼 （ Riemann ） 和克里斯托费尔 （ Christoffel ）等建立的微分几何学 。 张量分析及演算或绝对微分学 ， 是由里奇 （ Ricci ） 和他的学生列维 - 奇维塔（ Levi-Civita ）的共同研究生成果而形成的数学的一个分支。