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1.2 调和性二维拉普拉斯方程 0 2= ∇ ， 在区域 D 内 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的实部和虚部都是调和函数。
1.3 保角性映射前后两切线的夹角是相等的。
2 、积分性质：主要包括柯西定理、柯西公式、高阶导数公式和最大模定理等。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容 。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数 ， 多项式就是这样的函数 。 复变函数研究多值函数 ，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具 。 由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面 。 利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明 。 对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数 。 黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来 。 近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质 。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明 。 导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换 。 共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用 。留数理论是复变函数论中一个重要的理论 。 留数也叫做残数，它的定义比较复杂 。 源]自{751·~论\文}网·www.751com.cn/ 应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便 。 计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁 。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充 ， 以满足实际研究工作的需要 ，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数 。 广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数 。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用 。 因此，近年来这方面的理论发展十分迅速 。从柯西算起，复变函数论已有 170 多年的历史了 。 它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分 。 它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程 。 现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用 。
1.1.2 复积分的定义复积分是复变函数理论中的最基本的概念之一 , 和各种实积分相比 ， 复积分的定义看上去比较简单，但复积分却具有十分奇特的性质 —— 柯西积分定理，从这个著名定理出发可以导出许多关于解析函数的重要性质 [4]。为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均指光滑或逐段光滑曲线 ， 因而是可求长的 [1]， 曲线通常还要规定其方向 ， 不是闭的曲线的方向 ， 则只须指出它的起点和终点即可．定义 1[5]设有向曲线 ( )t z z C = : ， ) ( β α ≤ ≤ t 以 ( ) αz a = 为起点 ， ( ) β z b = 为终点， ( ) z f 沿 C 有定义，在 C 上从 a 到 b 的方向取分点： b z z z z a n n = = − , , , 1 1 0 ⋯ ，把曲线 C 分成 n 个弧段 ( 图 1 ）