- 上一篇：数学问题的变式练习研究+文献综述
- 下一篇：一些具有对应关系曲线的性质与应用
从目前参阅到的文献资料中所了解的信息来看，用复数来解决数学问题，近几年的研究者们取得了一定成果，比如：在《中国数学史》 一书中，对复数的几何形式、代数形式、向量形式、三角形式、指数形式都有详细介绍，而且也涉及到一些用复数解题的探讨；在《复数在解题中的作用》 一文中李葵芳介绍了借助复数的性质来解决三角恒等式的证明、求三角函数值等问题；在《浅谈复数的代数形式向复数的三角形式转化的方法》 一文中韩志刚通过分情况，细致地讨论了复数代数形式转化为三角形式的四种情况；在《复数法在平面几何中的应用》 一文中李中恢介绍了用复数解正多边形、圆、等腰直角三角形有关的几何问题等等。
综上所述，目前各学者对用复数来解决数学问题的研究是比较多的，但其研究的大多是用复数的某一种形式来解某一方面的题，而对总结整合这些表示形式以及运用其各种形式解题的研究却寥寥无几。所以本文采用文献研究、例题分析两种方法．对已掌握的有关复数理论相关文献进行系统的学习和阅读．通过收集查阅有关的文献资料和图书馆资料，及上网查找相关材料并归纳整理，对教材的有关知识认真学习和研究，适时的请教指导老师，和同学讨论、交流．并通过例题的比较，分析，研究，根据不同题型的特点，较为系统地总结出复数的五种表示形式在解题中的应用．避免在解题中出现求解方法盲目及繁琐．
1复数的几种表示形式
1.1复数的几何形式
沃利斯（J.Wallis, )曾试图在 年给出复数的几何解释，虽然他相信要使一个实数的平方成为负数是不可能的, 但随着文明的进步，一个实数的平方为负数也是有可能的, 由于当时社会的局限，致使他对虚根的解释并没有获得完全成功． 年，丹麦测量学家万塞尔(C.W.esuxsel)在前人的基础上，正式提出把复数 用迪卡尔坐标平面上的一点 来表示的沃利斯（J.Wallis）表示法，使复数的全体和平面上的点的全体建立了一一对应的关系，形成了复平面的概念．至此人们获得了复数的一种几何解释．
我们知道，数轴上的点可以用来表示实数，且实数集 和数轴上的点构成的集合是一一对应的.在此基础上，引进了平面直角坐标系后，有序实数对 也能够同平面直角坐标系中的点建立一一对应关系．任何一个复数 都能唯一表示成 的形式，说明有序实数对 和复数 之间，存在一个一一对应的关系．将复数与实数类比，若在平面建立一个直角坐标系，用复数 的实部 作为横坐标，虚部 分别纵坐标，那么在该直角坐标系上，复数 就能唯一对应一个点 .反之，平面上一点 也对应着一个复数．如此，复数与平面上点之间就建立了一一对应的关系 .
由于该直角坐标系的横轴表示复数的实部，纵轴表示复数的虚部，于是称横轴（ 轴）为实轴，纵轴（ 轴）为虚轴，并且称表示复数的直角坐标系所建立的平面为复平面．用复平面上的点来表示复数，称为复数的几何形式．任何复数都可以用复平面内的点来表示,如图（1）.
1.2复数的代数形式
对复数集中任意两个复数 , ，规定：
（1）当且仅当 且 时，称 与 相等，记作 ；
（2） ，由复数的加法与乘法易得 , .
这意着对形如 的复数作乘法和加法运算时，能够像计算实数一样进行，于是我们可以把 与 同等起来．此等关系使实数域成了复数域的一个子域．据此，我们可以规定
， .
于是，按此规定可推得
.
若记 ,则有 .
由此我们就得到了复数 的代数形式，即 ，其中的实数 和 分别称为复数 的实部与虚部，记作 , ．