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1.3复数的向量形式
在之前的学习中，我们知道平面内的点集与平面上的向量的集合之间是一一对应的：点 对应向量 ．通过传递性，在复平面内，复数 与向量 也建立起了一一对应．称复平面上的以原点 为原始的向量 为复向量．复数 能够用向量 表示(如图（2）)，并且称复数的这种表示法为复数的向量表示,.特别地，复数 对应的是零向量 ,即长度为 的向量.
一个复数 可以表示为向量 = ,决定向量 = 有两个要素：一是它的长度 ；二是向量 与 轴正向的夹角 的大小．由于 是表示复数 ，于是我们将 、 与 建立起联系，称 为复数 的模（或绝对值），记作 ,称 为复数 的辐角,记作 .
由上可知给定一个复数 ，向量 就可以确定了，它的长度 也就确定，即任意一个复数都有与之对应的唯一一个模，但对于辐角 ，若绕着原点按逆时针或顺时针旋转几圈，表示的仍然是同一个指向，因此复数的辐角 并不唯一，若 是复数 的辐角，则 也是 的辐角．为了讨论方便，我们称复数 在 内的辐角为复数 辐角主值，记作 .
综上所述，复数 与点、向量之间可以建立一一对应关系：
.
根据两点间距离公式和与 轴正向夹角的计算公式，若 ,对应点 ,我们有 ．
几个特殊情况：
（1）当 时,复数 对应 ，模 ，辐角任意；
（2）当 ,即 为实数时， ,即实部的绝对值， ( )或 （ ）.
1.4复数的三角形式
当复数 ( )已知时，我们可以求出它的模和辐角，反过来，如果已知复数 的模和辐角时，如何得到这个复数呢？
我们设复数 的模为 ，辐角为 ，复数 对应点 ,由三角函数的定义，我们可以得到 ．根据复数与向量及复平面内的点的一一对应关系，我们有 .
我们称用复数的模、辐角表示的 为复数 的三角形式．特别地，若 ,则 ．利用复数三角形式的推导过程及定义，我们可以实现复数的代数形式与三角形式的互化．
当 时， 称为单位复数.
复数三角形式的运算规则：
设 ，则有 当 时，由复数三角形式的乘法，可得到棣莫弗公式：
.
在三角形式中这是一个重要的公式．
1.5复数的指数形式
通过复数的三角形式的乘法，不难发现，两复数相乘的结果就是复数模相乘，辐角相加，这种改变运算等级（ 的现象在学过的知识中有过出现.
在指数函数中有 ，这是把两个同底幂相乘转变为同底的指数相加，在对数函数中， 是把两个整数积的对数变成两个同底对数的和．从上面可以看出，复数的乘法与指数函数的关系更为相近些：
， ， 应该可以表示成某种指数形式，即
复数应该可以表示成 ．那么就有以下问题需要解决：
（1）体现复数本质的三个要素：模 、辐角 、虚数单位 的位置的确定.
（2）他们以什么形式出现在这些位置上？
（3）用什么常数作为指数形式的底？
下面先看第一个问题：观察下面等式
， .
可以看到 ，显然模 应该占据 的位置，观察辐角 应该占据 的位置，对于虚数单位 ,若将其放到系数 的位置会如何？由于 等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的，所以辐角 也应该在指数的位置．这样新的问题就出现了： 与辐角同在指数的位置上，那他们之间应该满足何种关系？若他们满足相加会出现什么样的结果？