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数学家欧拉对复数理论作了最系统的叙述。在1777年的时候,欧拉建立了系统的复数理论,解释了三角函数与复指数函数的关系,并且建立复变函数中的一些基本定理,提出i作为虚数的单位。
19世纪,复变函数得到了进一步的发展,这些成绩得利于德国数学家维尔斯特拉斯、黎曼以及法国的柯西(Cauchy)等伟大的数学家的努力,正是在他们的不懈努力之下,复变函数形成了非常系统的理论。
它不仅深入到了拓扑学、代数学、解析数论、微分方程等数学分支领域,而且还在其他诸如热力学、流体力学等方面有着重要应用。
辐角原理是复变函数的一个重要定理，因此讨论辐角原理及其推论不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值。
目标
本课题目标是运用类比法、分析法、演绎推理法等对辐角原理及其推论和应用进行系统的归纳总结。
2 复数与复变函数
2.1 复数
2.1.1 复数
定义2.1 我们把诸如
z=x+iy或者z=x+yi
这样的数称为复数。这里x和y都是任意的单位为1实数。而i是满足i^2=-1的,称i为虚数单位。
2.1,2 复数域 所有的复数以及经过以上四种运算得到的全体称为复数域。
2.1.3复平面 对于复数我们可以利用初中所学的平面坐标轴来表示,即任意的复数z=x+iy,我们可以借助于横坐标为x,纵坐标为y的点来表示.(如下图2.1)
y
z= x+iy
i
X
图2.1
称x轴为实轴,y轴为虚轴.那么,我们把表示复数z的平面称为复平面,常用C表示.有了复平面后,我们就把＂数＂和＂点＂之间联系起来，因此我们也把数集称为点集.
2.1.4 复数的模与辐角 有了上面了复平面的概念后，我们就可以定义复数的模了．在复平面上，向量□(→┬Ｏｚ )的长度称为复数z的模(绝对值),表示成|z|=√(x^2+y^2 )(≥0).
复数的模可以比较大小,有|z_1+z_2 |≤|z_1 |+|z_2 |成立,称之为三角不等式.
在图2.1中的复平面上,夹角θ满足tanθ=y/x,称θ为复数z的辐角,通常都记成θ=Arg z .用arg z表示辐角中的某个特定值,并且假定有arg z∈(-π,π].那么就有θ= Arg z=arg z+2kπ.
(为了后面的计算方便,我们有必要在这里先引入欧拉公式: e^iθ=cosθ+isinθ)文献综述
2.1.5 共轭复数 复数z=x+iy的共轭复数为z ̅=x-iy,
显然,共轭复数满足|z ̅ |=|z|, Arg z ̅= -Arg z,换句话说复数跟它的共轭复数总是关于实轴对称的.
复平面上的点集
点集与区域的概念
在复平面上,我们把以z_0为圆心,半径为ρ的圆,称为点z_0的ρ-领域,通常我们记成N_ρ(z_0).同样的道理我们可以得到去心领域,即z_0 的领域中去掉圆心这一点后剩下的部分.
假如点集A内的点z都满足|z|≤M,其中M是正数,则称A为有界集.
我们把满足a)点集A是开集;b)点集A中任意的两点都可以用全在A中的折线连接(如图2.1),这样的非空点集A称为区域[1].
定理2.1 复平面上的任意一条简单闭曲线C将整个平面分成三个部分(如图2.2),这三个部分一定满足下面的性质:
彼此不相交;
I(C)是个有界区域(称为C的内部);
E(C)是个无界区域(称为C的外部);
由内部和外部中的两点连接成的简单折线一定与曲线C相交.
(此定理即为若尔当定理).