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证明：为了证明定理，将问题{█(F(u,v)=0@v(0)=0)┤ (1.1)化为{█(v=g(u,v)@v(0)=0)┤ (1.2)其中g(u,v)=v-(F(u,v))/(F_v^' (0,0)) ,g(0,0)=0,g_v^' (0,0)=0 取r>0,d>0使g在G:|u|≤r,|v|≤d上解析记M=m_G ax|g(u,v)|函数g(u,v)在u=0,v=0处的Taylor级数是g(u,v)=a_10 u+∑_(i+j≥2)▒〖a_ij u^i v^j 〗 |u|≤r,|v|≤d .
以形式级数v(u)=∑_(n=1)^∞▒〖c_n u^n 〗(1.3) 代入（1.2）的前式有
∑_(n=1)^∞▒〖c_n u^n 〗=a_10 u+a_20 u^2+a_11 u+a_11 u(c_1 u+c_2 u^2+⋯)+a_02 〖(c_1 u+c_2 u^2+⋯)〗^2+⋯
比较同次幂系数得：
c_1=a_10 ,
c_2=a_20+a_11 c_1+a_02 c_1^2=a_20+a_11 a_10+a_02 a_10^2
c_3=⋯
一般地，有c_n=p_n (a_10,a_20,a_11,…a_0n)其中p_n是a_10,a_20,a_11,…a_0n的多项式，其系数为非负整数由此推得：
引理2.1.1： 问题（1.2）至多有一个解析解。
为考察形式级数（1.3）的收敛性，我们取辅助函数：g ̅(u,v)=(a_10 ) ̅u+∑_(i+j≥2)▒〖(a_ij ) ̅u^i v^j 〗,其中(a_ij ) ̅=M/(r^i d^j ) (i,j)≠(0,1)以级数V=∑_(n=1)^∞▒(c_n ) ̅ u^n (1.4) 代入问题{█(v=g ̅(u,v)@v(0)=0) (1.5)┤ 有上面的讨论知(c_n ) ̅=d_n ((a_10 ) ̅,(a_20 ) ̅,…,(a_0n ) ̅) ,这是d_n是与c_n表达式中相同的多项式，因为：|a_ij |≤(a_ij ) ̅ , d_n具有非负系数，故|c_n |≤|(c_n ) ̅| ,所以，若（1.4）在|u|<W 内收敛，但（1.5）的解析解可解出：
v=M/((1-u/r)(1-v/d)) v/d-M(1+v/d)
d(1-u/r)(1-v/d) v/d=M-M(1-u/r)(1-v^2/d^2 )
d(1-u/r)(v/d-(v/d)^2 )=M u/r+M(1-u/r)v^2/d^2
(M+d)(1-u/r) 〖(v/d)〗^2-P(1-u/r) v/d+M u/r=0
∴v/d=1/(u(M+d)(1-u/r)) [e(1-u/r)±√(d^2 ((1-u/r)^2-4M(M+d)(1-u/r)u/r))]
=1/(2(M+d)(1-u/r)) [e(1-u/r)±d√((1-u/r)(1-〖(2M+d)〗^2/d^2 u/r))]
因所求解v（u）满足v（0）=0上式中应取“-”号，因此
v=d/(u(M+d)(1-u/r)) [d(1-u/r)-d√((1-u/r)(1-〖(2M+d)〗^2/d^2 u/r))]
从而{█(|u/r|<1@〖(2M+d)〗^2/d^2 u/r<1)┤ 故此函数在|u|<〖(d/(2M+d))〗^2 r内有单值解析分支满足v（0）=0.
其中Taylor级数正是（1.4）.在|u|<〖(d/(2M+d))〗^2 r 内收敛.
推论：形式级数（1.3）在|u|<(〖d/(2M+d))〗^2 r 内收敛
综合引理1.1，引理1.2证得定理. 证毕
2.2复变函数隐函数存在定理
定理1：若
(1)一切函数F_1 ,F_2 ,…F_m在以（x_1^0，x_2^0，…x_(n )^0,y_1^0 ,y_2^0 ,...y_m^0）为中心的（n+m）文长方体D=（x_1^0-v_1 ,x_1^0+v_1 ,...x_n^0-v_n ,x_n^0+v_(n ) ,y_1^0-v_1^' ,y_1^0+v_1^' ,...y_m^0-v_m^' ,y_m^0+v_m^'）中有定义而且连续；
(2)在D中这些函数关于一切变元的偏导数都存在且连续；
(3)点（x_1^0 ,x_2^0 ,...x_n^0 〖;y〗_1^0 ,y_2^0 〖 ,y〗_m^0）满足方程组
F_i（x_1 ,x_2 ,...x_n 〖;y〗_1 ,y_2 ,…y_n）=0 （1）（其中i=1，2，…,m）
(4)雅各比式J=(∂(F_1,F_2,…F_m))/(∂(y_(1,) y_(2,…) y_m))在（x_1^0，x_2^0，…x_(n )^0,y_1^0 ,y_2^0 ,...y_m^0）点不为零则
①在点（x_1^0，x_2^0，…x_(n )^0,y_1^0 ,y_2^0 ,...y_m^0）的某一邻域内方程组（1）确定y_1^0 ,y_2^0 ,...y_m^0为x_1^0，x_2^0，…x_(n )^0的单值函数；