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②当x_1=x_1^0 ,...x_n=x_n^0时，这些函数各具有数值y_1^0 ,y_2^0 ,...y_m^0；
f_1 （x_1^0，x_2^0，…x_(n )^0)= y_1^0,…f_m （x_1^0，x_2^0，…x_(n )^0)= y_m^0
③函数f_1，f_2,… f_m都为连续偏导数；
④有关于一切变元的连续偏导数。
定义1：设D及G分别是U平面上，U平面上的两个区域，二元函数F(u,v)在D×G上有定义并且是单值的。设U_0∈D,V_0∈G.任给ε>0存在正数δ，当|u-u_0 |<δ及|v-v_0|<δ时有|F(u,v)-F（u_0,v_0)|<ε成立，则称函数F(u,v)在(u_0,v_0)点连续。若对于任意的(u,v)∈D×G ,F(u,v)都连续则称F(u,v)在D×G上连续。
定义2：设F(u,v)在区域D×G上有定义，并且对于任意的V_0∈G，函数F(〖u,v〗_0)在D内都解析，又对于任意的U_0∈D，函数F(U_0,V)在G内解析，则称函数F(u,v)在四文空间的域D×G是解析的。
定理2：若函数F(u,v)在区域D×G内解析，F(u,v)在区域D×G内连续。
定理3：若函数F(u,v)在区域D×G内解析,则∂F/∂U,∂F/∂V在D×G内连续。
定理4：函数F(u,v)在D×G （D={u：|u-u_0 |<r},G={v:|v-v_0 |<d}）中解析，且F(u_0,v_0 )=0 (∂F(u_0,v_0))/∂v=0 确定单值函数v=v(u)且v_0=v（u_0）.
证明：令F(u,v)=ξ(x,y,a,b)+iη(x,y,a,b)u=x+iy v=a+rb
我们来证明定理1满足定理1的条件（1）（2）（3）(4)，事实上因F(u,v) 在 D×G解析，由定理2可知ξ ，η在四文空间D×G内连续，再由定理3 ξ ，η 都有关于一切变元的连续偏导数.