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向量函数的定义 若 是 的一个子集，对每一个 都有唯一的一个 使 则称 为 到 的向量函数 ，记作 称为函数 的定义域.在映射的意义下， 在 下的象为 在 下的象集为 称为 的原象.设 若对任何 ,只要 就有 则称 为 到 的一一映射.
分析: 由上述定义，当 时得到的是一元函数的定义，定义的是实数的一个子集到实数集的一个映射.
一元函数定义 给定两个实数集 和 ，若有对应法则 ，使对 内每一个数 ，都有唯一的一个数 与它相对应，则称 是定义在数集 上的函数，记作
数集 称为函数 的定义域, 所对应的数 称为 在点 的函数值，常记为 .全体函数值的集合
称为函数 的值域.称此函数关系中的 为自变量， 为因变量.
当 时，得到的是一个二元函数 .
当 时，得到的是一个 元函数，函数表示为 .
当 时，得到的是一个函数组 .这就是我们常见的平面曲线的参数方程.
当 时，得到的是 .
它是一个空间曲线方程.
当 时，得到的是 .它是一个 文空间曲线方程.
当 时，得到的是 .
定义了一个函数组，它是常用的二文空间到二文空间的变换.
一般形式当 时，得到的是
它是一个函数组,是定义向量函数的一般形式.
2.2向量函数对于极限定义的指导作用
向量函数的极限定义 设 是 的子集，存在向量函数 , 任何邻域和 的交非空，若常数向量 ，使对于任意正数 ，存在正数 ，当任何 时，有 . 为 的极限记为
分析 上述定义中当 时得到的是一元函数的极限定义.
设 为定义在点 的某个空心邻域 内的函数.现在讨论当 趋于 时，对应的函数值能否趋于某个定数 .( 趋于 时函数的极限)
一元函数极限的 定义 设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义， 为定数.若对任何的 ，存在正数 ，使得当 时有
称函数当趋于时以为极限，记作 或 .
当 时，得到的是 .
这是一个二元函数的极限定义.
当 时，得到的是函数组的极限定义 .
当 时，得到的是二元函数组的极限定义
当 时，得到的是
它是 元函数组的极限定义.
2.3向量函数对于连续定义的指导作用
向量函数的连续定义 若对任何 存在 ,使得 在点 连续.
分析 当 时，就是一元函数的连续定义.
一元函数的连续定义 设函数 在某 上有定义 则称 在点 连续.
当 时，得到 , 函数组的连续定义
在点 连续.
当 时，得到函数的连续定义是
.当 时，得到的连续定义是
.当 时，得到的连续定义是
.这是向量函数连续的一般定义.
2.4向量函数对于可微定义的指导作用
向量函数的可微定义 设 为开集， .如果 只依赖于 使得 时 .则称向量函数 在点 可微.
分析 由上述定义可知当 时就是一元函数可微定义设函数 定义在 的某邻域 上当给 一个增量 时，则增量可表示为 或表示为 ，则称 在点 可微.
当 时可以得到二元函数的可微定义
则称函数 在点 可微.
当 时，得到的是函数组的可微定义
当 时，得到的是函数组的可微定义
当 时，得到函数组的可微定义
这是向量函数组可微定义的一般形式.
通过以上对向量函数相关定义的探讨，得到了数学分析中与之关联的定义.对这些知识进行抽象、概括、归纳、形成一个知识体系.