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3.向量函数对于性质方面的指导作用
3.1向量函数对连续性质的指导作用
3.1.1向量函数的连续性质
定理3.1.1 ,在点 连续的充要条件是：任何点列 收敛于 时， 都收敛于 .
定理3.1.2(向量函数为三元函数) 设 则
在区间 上每点都连续，则称 在区间 上连续.
定理3.1.3 若 是道路连通集, 是 上的连续函数，则 也是道路连通集.
定理3.1.4 若 是有界闭集， 是 上的连续函数则 也是有界闭集.
向量函数一致连续：若 是有界闭集， 是 上的连续函数且是向量函数，则在 上一致连续.即对任给 ,存在只依赖于 的 ,只要 且 就有 .
上述定义中当 时，就是实数集上的一元函数 的情形.
定义3.1.1 设 为定义在数集 上的函数.若存在 ,使得对一切 ,有 则称 在 上有最大值，相应的有最小值.
定理3.1.5(最大、最小值) 若函数 在 上连续，则 在 上有最大最小值，或称为有界.
定理3.1.6(介值性定理) 设函数 在闭区间 上连续，且 . 若 为介于 之间的任何实数，则至少存在一点 ,使得
一元函数的一致连续：
定义3.1.2(向量函数一致连续定义中 时) 设 为定义在区间 上的函数.若对任给的 , ,使得对于任 只要 就有 .称 区间 上一致连续.
当 时，若 是道路连通集, 是 上的二元连续函数，则 也是道路连通集.
当 时，若 是有界闭集， 是 上的二元连续函数则 也是有界闭集.
依次类推.
当 时，若 是道路连通集, 是 上的一元连续函数，则 也是道路连通集.
若 是有界闭集， 是 上的二元连续函数,则 也是有界闭集.
依次类推.
由此读者可以看出,函数在闭区间上的性质、在区间上的一致连续性都可以推广到向量函数，向量函数的这些性质是由一元函数的这些性质组合成的，因此向量函数起到了指导作用.
3.2向量函数对于可微性质的指导作用