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摘 要:本文首先介绍了集合及其基数的有关概念；其次给出研究集合基数的方法并讨论一些特殊集合的基数；最后总结出求有穷集的基数的计算公式和判断可数集和不可数集的方法，并对基数的一些应用进行说明．关键词:集合；基数；可数集10663
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Cardinal Number of a Set
Abstract: Firstly, this paper introduces the related concept of the set and its cardinality. Secondly, provides some methods of studying cardinality of a set, discusses the cardinality of some special sets.Finally, summarizes the formula of seeking a finite set and the means of judging a denumerable set and a no denumerable set, and describes some application of cardinality.
Key words: Set; Cardinality; Denumerable Set
目 录
摘 要 1
引言 2
1.集合及基数的概念 3
1.1 自然数集 3
1.2 对等与基数 3
2.集合的基数 4
2.1 有限集的基数 4
2.2无限集的基数 5
3.基数的应用 9
3.1 基数的计算公式 9
3.2基数的应用 10
3.3康托—伯恩斯坦定理 12
结束语 13
参考文献 14
致谢 15
集合的基数 引言
集合论是现代数学中重要的基础理论，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础．康托尔在讨论最起初的集合论时, 最初引入了基数的概念．由于集合论的方法与概念已经渗透到很多学科，如拓扑、分析及代数等数学分支和质点力学与物理学等自然科学学科，并为这些学科提供了一些基本的方法．在集合的研究中关于集合元素“个数”的讨论，即对基数的概念的研究颇多，这凸显了基数的概念在集合论中的重要地位．
在研究集合论时，人们往往非常关注集合含有元素的个数．迄今为止，有很多关于基数的文章，他们对集合的基数的求法及应用都有所讨论，但仍有不足之处．例如，文献[3]中缺乏对集合基数应用的讨论．文献[4]中对集合的基数的讨论不具代表性，它取的集合仅限于由含200个元素的一列数经高斯取整得到的集合．本文在所参考的文献的基础上，对基数的求法及应用进行了详细的归纳与总结，具有一定的理论意义和实践价值．
1.集合及基数的概念
1.1 自然数集
定义1.1.1 我们称紧跟在自然数 之后的那个自然数为 的后继，记为 ．
定义1.1.2 自然数可以用空集和后继 定义为集合，表示为 , , ．
1.2 对等与基数
定义1.2.1 假设 是两个集合，且都不为空集，若存在一个法则 ，使得对于任意 ，在 中都有唯一的 与之相对应，则称 为从 到 的一个映射，记作：
当映射 使 和 对应时， 称为 在映射下 的像，记作 ，也可表示为：
对每一个确定的 ，称满足 的所有 是 在映射 之下的原像．集合 称为这个映射 的定义域．假设 为 的一个子集， 的所有元素的像的集合称作集合 在 之下的像，记为 ．映射 的值域记为 ．
定义1.2.2 设 和 是两个非空集合，若存在从集合 到 上的一一映射 ，即满足：
(1)单射：对任意 ,若 ,则 ；
(2)双射：对任意 ,存在 ,使得 ．
则称 和 对等，记为 .规定 ．
例1.1 由所有正奇数组成的集合和由所有正偶数组成的合对等．
证 正奇数集与正偶数集均为非空集合，对任意的 属于正奇数集，存在唯一的 属于正偶数集；对于任意的 属于正偶数集，存在唯一的 属于正奇数集，使得 ．即存在从正奇数集到正偶数集的一个一一映射 ，所以正奇数集和正偶数集对等．