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例1.2 正整数集和正偶数集对等．
证 记正整数集为 ,正偶数集为 ，容易找到从 到 的一个一一映射 ， 属于正整数，所以正整数集和正偶数集对等．
例1.3 试证区间 和实数集 对等．
证 把区间 上的所有元素组成的集合记为 ，易验证从 到 存在一个一一映射 ， ，所以，区间 和全体实数 对等．
对等关系有以下性质：
(1)(反身性) ；
(2)(对称性) ，则 ；
(3)(传递性) , ,则 ．
定义1.2.3 对于有穷集合 ，称与 对等的那个唯一的自然数为 的基数记作 或 ,即 ．
2.集合的基数
2.1 有限集的基数
定义2.1.1 如果 是一个集合，若 满足以下任意一点：
(1) 是空集；
(2)存在一个 属于正整数，使得从 到 能找到一个一一映射．就称 是一个有限集．如果 是一个非有限集的集合，我们称它为无限集．
例2.1 实数集是无限集．
证 因为找不到一个自然数 ，使实数集与 对等，因此实数集不是有限集，即实数集为无限集．
定义2.1.2 若存在 ,使集合 和集合 即集合 的元素个数相等，就称 为 的基数，记作 或 ．空集的基数是 ．
定义2.1.3 如果存在 是集合 的基数， 就是有限集合．如果不存在这样的 ， 就是无限集合．
例2.2 是有限集．
证 因为存在一个正整数 是 的基数，所以 为有限集．
2.2无限集的基数
2.2.1可数集合
我们知道非空的有限集合是和正整数列的某一真子集 对等的集合，那么，与所有正整数所成的集合对等的无限集合就更受关注了．其实正整数本身就是这样的集合．
定义2.2.1 一个集合称为是可数的或者是可列的，如果这个集合和正整数集对等．
定义2.2.2 [1] 我们把自然数集合 的基数记为 ，读作阿列夫零，即 ；实数集 的基数记为 ，读作阿列夫，即 ．
定理2.2 任意一个无限集都最少包含一个可数集作为它的子集．
证 设 为一个无限集合，从 中取任意一个元素，记为 ．由于 是一个无限集合，所以 仍然是无限集，所以可在 再取一个元素，记为 ．照这样继续下去，一般地，如果已经得到了互不相同的元素 ，因为 是无限集，又可从 中取一元素，记为 ．照这样继续下去，就得到一个无限集合 ．显然， 是可数集,且 满足 ．
定理2.3 设 是可数集， 为有限集或可数集，则 为可数集．
定理2.4 设 都是可数集，则 也是可数集．
定理2.5 设 都是可数集，则 也是可数集．
证 用数学归纳法进行证明．当 时，显然成立．假设 时命题成立．
下面证当 时也成立．令 ,则由假设 是可数集．再由 时成立得到 也是可数集，所以 是可数集．
例2.3 试证有理数集是可数集．
证 设 其中 (其中重复的分数只取一个，其它的舍去)，则 是可数集，于是由定理2.4知正有理数全体成一可数集，因正有理数集可以通过 与负有理数集一一对应，故负有理数集也成一可数集，又因为有理数集可表示为 ，故 为可数集．
例2.4 设集合 中元素都是直线上的开区间，满足条件：若开区间 ,则 ．证明A是可数集或有限集．
证 作映射 ．设 ，由于 在直线上稠密，任取 ,定义 ．由于任意 ,有 ,因此 是A到Q内的单射，于是 ,所以 ，即A是可数集或有限集．
例2.5 集合 是无限集．
证 因为找不到一个正整数 ，使得 是该集合的基数，所以该集合为无限集．
以上讨论已经知道：有限集 的元素个数称为 的基数，记为 ．由此容易得出：若存在一个有 到 的双射 ，则称集合 与 有相同的基数，记为 ;如果从 到 存在单射，则称集合 的基数小与等于 的基数，记为 ;如果从 到 存在单射不存在满射，就称 的基数小于 的基数，记为 ．