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2.2.2不可数集
上面已经讨论了可数集，而不可数集就是不是可数集的无限集．
定理2.6 [2] 全体实数所组成的集合 是一个不可数集．
例2.6 证区间 中的所有实数构成的集合是不可数无穷集合．
证 区间 中的每一实数都可写成十进制无限小数的形式如下： ， ．如果其中某些数有两种表示方法，如， , ．规定每个有限小数后都用无限多个 来补充，这样每个小数都可以用唯一的十进制无限小数的形式表示．假设 中的全体实数组成的集合是可数集．则 中的全体实数可排成一个无限数列： ．
用十进制无限小数的形式表示每个 如下：
其中 ．
现构造一个新的小数 ， ,每个 ．其定义为：当 时， ;当 时， ,其中 ．易知, ．而
．又 ，根据假设，ｂ肯定与某个 相等，矛盾．故 中所有
实数组成的集合是不可数集．
例2.7 证明 ， , , 的基数都为 ．
证 首先证 ,其中 ，令 并令 ，易见 是单调上升的，且有 ,所以 ，再证 ，存在一个 的一一映射：