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本文以函数的最值和极值问题的多种解法为例．此文章主要介绍了函数极值的两类，即无条件极值和条件极值及它们的多种解法．函数最值问题的解法包括初等解法与高等解法.初等解法主要有利用消元法、换元法、配方法、判别式法、构造函数法高等解法有微分法．对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简单的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极都归结于对极值和最值的求解．下面，就让我们系统的归纳和展示函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用．
本文首先就利用多远函数的性质来对函数极值进行判断,然后运用梯度法［１］和拉格朗日极值法［４］对函数极值问题的解法进行研究．其次,本文还就函数最值问题的初等解法和高等解法［７］进行深究，为求最值极值问题的多种解法奠定理论基础.最后,作为极值和最值问题的多种解法的扩充,我们对其应用［１３］进行了扩充．
1．极值知识
1.1极值定义
如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）．该点就相应地称为一个极值点或严格极值点．定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点．这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件．设函数 在 附近有定义，如果对 附近的所有的点都有 则 是函数 的一个极大值．如果对于 附近的所有的点，都有 则 是函数 的一个极小值．极大值与极小值统称为极值．
1.2多元函数的定义
设 为一个非空的 元有序数组的集合， 为某一确定的对应规则．
若对于每一个有序数组（ , ,… ） ，通过对应规则 ，都有唯一确定的实数 与之对应，则称对应规则 为定义在 上的 元函数.记为 = （ , ,…, ） ，（ , ,… ） ．变量 , ,…, 称为自变量； 称为因变量．（ ,其中i是下标，下同）
当 ＝1时，为一元函数，记为 ．
当 ＝2时，为二元函数，记为 ．
二元及以上的函数统称为多元函数．
其他定义为：
设M是 文空间的一个点集， 为某一确定的对应法则．如果对于每个点 ( , ,…, ) ，变量 按照对应法则 总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量 , ,…, 的 元函数，记为 （ , ,…, ），( , ,…, ) 或 ．若函数 的定义域是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说 是一元函数。若函数 的定义域M是 个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^ 的子集．即依赖于 个独立自变量，就说f是 元函数。当 时， 元函数泛称为多元函数。
二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域．
1.2.1多元函数的三要素
1. 定义域
集合D＝{（ , ,…, ）| （ , ,…, ）}，称为函数的定义域，也可以记为D（ ）或 （ 是下标）．
2．对应规则
对应规则（也称对应关系、对应法则、对应规律）；f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示．
３．值域
全体函数值的集合｛ ∣ （ ）， （ ）∈D｝称为函数的值域，记为Z或Z（ ）．
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数 ，而且对于凸子集C中任意两个向量 ，得出对于任意(0,1)中有理数 如果 连续，那么 可以改成任意(0,1)中实数．