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凸函数定义
若这里凸集C即某个区间 ,那么就是：设 为定义在区间 上的函数。若对 上的任意两点 ， 和任意的实数λ∈（０，１），总有 (λ +(1-λ) )≤λ ( )+(1-λ) ( ), 则 称为 上的凸函数．
判定方法可利用已知结论法、定义法以及函数的二阶导数．对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数．如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数（向下凸）．如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数．
1.2.2多原函数的性质
定义在某个开区间D内的凸函数 在D内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果D是闭区间，那么 有可能在D的端点不连续．一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减．
一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方,对于区间内的所有 和 都有 特别地，如果 那么 是 的最小值．
一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数．如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立．例如 = 的二阶导数是 当 时为零，但 是严格凸的．
更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的．凸函数的任何极小值也是最小值．严格凸函数最多有一个最小值．对于凸函数 ，水平子集 是凸集．然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数．这样的函数称为拟凸函数．
设 为定义在区间 上的函数，若对 上的任意两点 ， 和任意的实数λ∈（０，１），总有 则称为 上的下(上)凸函数,且凹函数是指下凸函数
1.３求极值的方法
极值一般分为无条件极值和条件极值两类．
（1）：无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；
（2）：条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件
限制的极值问题．
1.３.1求无条件极值的方法
1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
定理1(充分条件) 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数, 又
令 则 在 处是否取得极值的条件如下：
(1) AC-B2>0时有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值；
(2) AC-B2<0时无极值；
(3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能无极值。
极值的求法：
第一步 解方程组 求得所有实数解, 即可得 所有驻点．
第二步 对于每个驻点 ，可以求出二阶偏导数的值A、B和C．
第三步 定出AC-B2的符号, 根据定理1的结论判定 是否是极值、是极大值还是极小值．
应注意的几个问题：
⑴对于二元函数 ,在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
⑵AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不一定驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑．
例1 求函数 的极值．解 令 得 及驻点