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摘要：本论文以常微分方程的积分因子法为核心，研究了一阶常微分方程积分因子的求法与一些非恰当微分方程的求解问题. 全文分为三章，第一章叙述了常微分方程的发展历史及几类常用求解方法，着重介绍了积分因子法的历史背景，阐述了本文主要研究内容. 第二章是本文所研究内容的基础，探讨了积分因子存在的充要条件，并给出了几种不同形式微分方程的积分因子，为解决实际问题奠定了基础. 第三章是本文的核心，我们针对一些一阶常微分方程的积分因子的具体问题做了探讨，给出了解决该类问题的三种基本方法，并引入了积分因子方法在数值计算中的应用.10739
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关键词：常微分方程；积分因子；恰当微分方程；数值计算The Use of Integral Factor Method in Solution of First Order Differential Equation
Abstract: Based on the integral factor method, we consider the problems of the solution to the first order ordinary differential equations. This paper develops itself in three chapters. The chapter one describes the history of the development of the ordinary differential equations and a few common methods for solving the first order ordinary differential equations. We introduce the historical background of the integral factor method, particularly main contents of this paper. The second chapter is the base of our work. The necessary and sufficient conditions of the integral factor are investigated, and several different forms of the integral factor to the differentia equations are also given. These lay the foundation for solving practical problems. The third chapter is the core of this article. We discuss specific problems of the integral factor to the first order ordinary differential equations, and give three basic methods to solve such problems. Finally, we introduce applications of integral factor in the numerical calculation.
Keywords: Ordinary Differential Equations; Integral Factor; Appropriate differential equation; Numerical calculation
目录
摘要i
Abstractii
目录 iii
1 绪论1
课题的目的和意义1
常微分发展历史及课题分析1
主要研究内容3
论文结构3
积分因子的存在性讨论4
积分因子的定义4
不同形式积分因子存在的充要条件5
几种常见类型微分方程的积分因子10
常微分方程积分因子的求解11
一阶常微分方程积分因子的求法11
3.1.1 观察法11
3.1.2 分项组合法12
3.1.3 公式法14
3.2 积分因子法在数值计算中的应用19
致谢23
参考文献24
1 绪论
本章主要分析本课题研究的目的和意义， 并简述研究内容.
课题的目的和意义
常微分方程是数学学科的重要分支，在许多科学领域有着重要的应用，例如自动控制问题、电子装置设计、行星运行轨道、土木工程问题、大气物理、化学反应动力学模型等等. 这些问题常常都可以归结为相应的微分方程（组）的求解问题，因此如何求得微分方程的解一直是微分方程研究的重点和难点.
积分因子法是求解常微分方程的一种基本和常用方法，主要是通过将恰当微分方程进行积分而得到微分方程的通解. 一般而言，我们知道不是所有的常微分方程都是恰当微分方程，因此如何在原微分方程中引入适当的积分因子，将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程成为求解微分方程的关键. 本课题我们首先讨论一阶常微分方程积分因子的存在性问题，再运用积分因子法得到几个类型的一阶常微分方程的通解，为微分方程的求解提供一些思路.