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    首先我们可以假设厚壁筒受不变内压作用时的位移为 ，显然该位移满足微分方程
                                                   (2-5)
    易解得
                                    (2-6)
    验证边界条件亦满足
                                  (2-7)
    根据数学知识可假设厚壁圆筒总位移
                                                 (2-8) 
    把公式(2-8)代入到式(2-3)、(2-4)、(1-3)，可求得未知函数满足的微分方程
        (2-9)
     应满足的边界条件为
                                                 (2-10)
     应满足的初始条件为
                                  (2-11)
    设方程(2-9)的解为
                                                      (2-12)
    其中 为厚壁筒自由振动的正规函数，则 表示为
            其中             (2-13)
    他们满足下列微分方程和边界条件
                                          (2-14)
                                                (2-15)
    方程(2-14)为一阶贝塞尔方程，公式(2-13)中 分别为一阶第一类和第二类贝塞尔函数，这两个函数的线性组合即为方程(2-16)的通解,这就是 的由来，其中 为厚壁筒第 振型自由振动圆频率， 为线性系数。第一类 阶贝塞尔函数的形式为
                      
    式中 是伽马函数，满足关系 
    第二类 阶贝塞尔函数的形式较复杂，具体可见参考文献。
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