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图1-1. 热膨胀光激超声波示意图
激光超声技术的关键问题就是对超声信号的接收和分析，从接收信号的幅度、频率和相位中分析出样品的弹性性质和缺陷特征，但是由于实际材料的几何形状的复杂性、构成成分的复杂性、激光超声波与样品微结构相互作用过程的复杂性等等，导致接收到的信号不平稳，受到时间与频率的限制。本文要用激光超声研究人类牙齿的特性，就要理解激光超声的产生原理、在其中的传播特征以及接收信号的分析，悉尼大学的Wang[4]等人就利用激光超声技术对健全的和有缺陷的牙齿进行评估，他们利用激光线源在离体人牙上激发出声表面波，利用光干涉法从实验上探测到健康牙齿和初期龋齿中传播的激光声表面波，并得到了在健康牙齿和初期龋齿中传播的激光声表面波的速度色散谱。
1.2 本论文的主要内容
本文首先介绍了激光超声技术的原理及其特点，简单介绍了有限元方法。在本文主要用有限元方法建立了激光超声在健康牙齿和初期龋齿中传播的理论模型，并用该方法对激发产生的超声波在健康牙齿中的温度场分布、时域波形、色散分布进行了数值模拟分析，同时也对声表面波在初期龋齿中的传播特性进行了数值模拟分析。
2 有限元方法研究热弹性问题的基本原理
2.1 有限元方法概述
目前数值分析方法有两类[19]：一类以有限差分为代表，其特点为直接求解基本方程和相应的定解条件的近似解，特别适用于求解建立空间坐标系的流体流动问题，但对于几何形状复杂的问题时，精度降低，甚至发生困难；另一类是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分方法，然后据之建立近似解法，这类方法只能限于几何形状规则的复杂问题，不能建立合乎要求的近似函数。而有限单元法的出现，是数值分析方法研究领域内的一个重大突破。有限单元法的基本概念是将连续的求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，这种方法可以模型化几何形状复杂的求解域，它的一个重要特点是可以利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数，可以将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，求解出这些未知量后可以通过差值函数计算出每个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似值[20]。
有限元法的基本思路是“化整为零，积零为整”。在有限元法求解时，将连续的结构划分成有限多个单元，并在每个单元中设有限多个节点，将连续的结构看作只在节点处连接的有限个单元的集合体；然后选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每个单元中假设一个能代表单元中场函数分布规律的近似插值函数；再利用力学中的变分原理建立求解节点未知量的有限原方程，即将一个连续域中的无限自由度问题变为离散域中的有限自由度问题。当求得节点值之后，再根据节点值和设定的插值函数确定单元上和集合体的场函数。
在有限元法中，单元可以根据需要设计成不同的几何形状来模拟和逼近复杂的结构，所以在实际工程问题中非常的适用；而且从理论上说，如果插值函数满足一定的要求，随着单元数目的增加，求得节点值的精度也会不断提高而最终收敛于问题的精确解，但是这却增加了计算机计算所耗费的时间，所以在实际工程应用中，只要求得解的精度能满足工程需要即可，并不是越精确越好。有限元分析法的基本策略就是在分析精度和计算时间上找到一个最佳平衡点。