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（2.23）
来保证能量在连续两个节点之间的传递[22]，式中Le是指单元长度； 是指中心波长。
2.5.3 平面单元
在材料的热分析中，根据热传导的物理性质，热传导分析平面单元可以分为三角形和四边形，该形状的选取与材料的几何形状有关。单元的阶次与所求的场量的特征有关。在温度场分析中，采用四边形的一次单元来进行分析，使得能与后面的结构场的分析对应起来。
为兼顾计算精度和计算效率，在计算过程中可以将网格加密，即在温度变化迅速的区域或温度梯度高的区域布置较密的网格，在温度变化平缓的区域布置较稀疏的网格，在密-疏网格之间采用映射网格进行过渡。
2.5.4 初始条件和边界条件
因本文中将牙齿看成是一个双层材料，在温度场分析的基础上，对于双层材料上、下表面盈利自由，初始应力设为零，初始位移为零，接触界面处应力连续，位移连续，初始应力和初始位移为零。在激光热弹性分析中，单元长度和温度场分析中相同，时间步长的选取要考虑到结构分析时的要求，具体情况已在2.5.1节中做了具体讲解。
3 激光超声在健康牙齿及初期龋齿中传播的有限元数值分析
3.1 激光与材料参数
本文主要研究对象是牙齿，人的牙齿主要是由珐琅质、象牙质和牙髓组成的，牙齿的最外层是珐琅质，珐琅质层的厚度并不是均匀的，牙颈部的珐琅质比较薄；第二层是象牙质；最里层是牙髓。不同地方的牙齿物理几何形状各异，其中门牙的轮廓最为平坦，并且由于牙冠尺寸较小，激光超声波的激发和探测距离也小，一般在5mm以内，因此可以忽略牙齿的几何特征即牙齿的弧度对声波传播的影响。门牙可以看成是由珐琅质、象牙质和牙髓组成的均匀的形状规则的层状结构，由于牙髓本身的构造特点，牙髓层可认为是空的，所以门牙可以看成是由珐琅质和象牙质组成的双层结构，如图3-1所示，激光辐照在牙齿表面。典型的珐琅质和象牙质的厚度均约为1mm。
图3-1 激光辐照人类牙齿示意图
样品的长度为5mm、厚度为5mm。激光辐照能量为1mJ，激光脉冲上升时间和激光光斑半径分别为为5ns和100 ，样品：上层为珐琅质，厚度为1mm,下层为象牙质，厚度为1mm。激光加载在样品上表面2mm处，有限元时间步长为1 ,根据有限元方法构造的模型如图3-2所示，网格大小取为50 ，在激光辐照中心对网格进行加密。
图3-2网格划分
激光辐照区域的单元长度取为5 。
计算中所用的材料参数见表3-1。
热膨胀系数(/K) 热传导系(W/m•K) 比热(J/Kg•℃) 密度
（kg/m3） 杨氏模量
（Pa） 泊松比
珐琅质 17e-6 0.937 710 2960 78e9 0.3
象牙质 11e-6 0.584 1600 2200 19.3e9 0.3
表3-1人牙的珐琅质和象牙质的热学参数
3.2 激光与健康牙齿相互作用产生超声波的数值模拟研究
激发激光波长为266nm、脉宽为5ns，能量为1mJ，聚焦线源的宽度为200 。在光波波长266nm附近，珐琅质的光透入深度约为0.26mm,由于珐琅质对激光有较大的光学穿透深度，故激光作为体热源加载。计算中使用的珐琅质和象牙质的热力学参数见表3-1。边界按绝热边界条件处理，界面为理想的热接触,初始温度为35.2℃。首先对脉冲激光辐照在牙齿表面产生的瞬态温度场进行了研究。图3-3是激光辐照牙齿表面的温度变化情况。如图所示在牙齿表面激光辐照中心处约在10ns的时间内温度由308℃迅速升高到327.7℃，接近20℃的温度变化，而20℃的温升并不会对珐琅质造成损伤，并且珐琅质的厚度约在1mm，因此象牙质的温度几乎没有产生变化。对于珐琅质，温度降低的速度较慢。在x方向，也就是珐琅质表面沿着光斑作用方向，在距光斑中心180m处基本没有温升，因为由珐琅质的热导系数、密度和比热及激光的脉宽得到的热扩散长度约0.1 ，热膨胀区域基本集中在光斑作用范围内，由此，在实际应用时，可以根据需要控制的加热区域的大小来选择激光的波长和光斑尺寸。局部区域温度的迅速升高使该区域产生热膨胀，而由于周围介质的约束作用产生应力分布，从而在固体中激发产生脉冲超声。