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        下面我们来证明,当扰动 不为零时,闭环系统(2)的扰动输入和输出之间满足性能指标(3)。为此,对任意给定的正实数 ,我们将不等式(8)从0到 取积分,可得
     因为
    所以又因为  我们可得
      进而可得
    又根据定理1的条件,我们知道  
    从而对任意t有
    因为上式是对任意的t成立,所以对任意给定的正实数 ,上式也成立,即
     
    从而我们得到   (9)
    下面我们分 和 两种情况来讨论。首先我们考虑 的情况。此时,性能指标(3)退化为
     
    显然,当我们取 ,条件(9)就可以保证上述性能指标得以满足
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