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式中被控对象的输入力F由u表示。再对上式进行拉普拉斯变换,假设初始条件都为0,则可以得到: (2.10)
对第一个方程进行求解可以得到: (2.11)
或者可以写为:
(2.12)
此时,令v = x,可以得到:
(2.13)
将方程(2.13)代入(2.10)中的方程2,则可以得到;
(2.14)
对上式进行整理,便可得到传递函数:
(2.15)
式中 。
假设系统的状态空间方程为:
(2.16)
令 ,可以得到所需的方程式:
(2.17)
2.3 基于Lagrange方程的动力学建模
采用Lagrange方程对系统进行动力学建模,首先令拉格朗日方程为:
(2.18)
式中, i=1,2,3……n, f i即为系统在第i 个广义坐标上所受到的外力。一级倒立摆系统有三个广义坐标,分别是x,θ1。
系统的动能可以表述为下式:(2.19)
式(2.19)中, 为小车的动能,其相关方程为: (2.20)
摆杆的动能可以由下式得到:(2.21)
另外,由于 (2.22)
那么摆杆的平动动能和转动动能可以写成下式: (2.23)
则摆杆的总动能即为:
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