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图1.1 PID控制系统原理图
其控制规律为：
（2.2）
或者写成传递函数形式为：
（2.3）
式2.3中：Kp-比例系数；Ti-积分时间；Td-微分时间
2.3 PID控制器各环节的作用
2.3.1 比例环节
比例环节数学式表示如下:
（2.4）
比例环节是为了较为快速且成比例地反映偏差信号e(t) 而引入的。其快速对系统进行控制，使偏差向最小的方向变化。比例系数越大，稳定误差越小，但与此同时系统动态性能减小，系统开始有严重的震荡，超调量也逐渐增加。所以，必须选择合适的比例系数，才能获得稳态误差小、同时过渡时间少的效果。
2.3.2 积分环节
积分环节数学表达式表示如下:
积分环节主要用于消除系统的静态误差而引入的。系统处于稳定状态时，此时控制偏差量和控制输出量都保持在同一个值上。积分时间常数决定着积分作用的强弱，当时间常数增大时，积分的作用将减小；当时间常数减小时，积分的作用将增大。积分时间常数越小，系统的静态误差在将减小；但如果积分时间常数过小，系统将会加剧震荡，会使系统变得更加不稳定。
2.3.3 微分环节
微分部分数学表达式表示如下:
微分环节是为了增加系统的稳定性和动态响应而引入的。它能感知到偏差信号的变化趋势。如果预测到偏差信号值将出现较大变化时，为了加快系统的动态速度、减小调节时间，其将在系统中引入一个早期修正信号。微分时间决定着微分作用的强弱。当微分时间增大时，微分作用也增大， e(t)变化受控作用也越强；当微分时间减小时，微分作用也减小， e(t)变化受控作用也越弱。微分环节对系统的稳定性将产生较大的作用。
2.4 PID控制的算法
PID 控制器在计算机中是直接通过计算机PID控制算法程序实现的。当连续的时间信号进入计算机后，为了能进入计算机的寄存器和存储器，其必须经过采样以及量化变成数字量才可以。因为在数字计算机中只能用逼近计算法来进行计算和处理，所以PID控制规律的实现在数字计算机中也必须用数值逼近的方法。
因此可以看到，式（2.3）中的积分和微分环节先要进行离散化处理后才能使用。现在令KT代表连续时间t，T为采样周期，积分用连续的求和来近似替代，积分用差分来近似替代：
式中，T为采样周期，e(k)为系统第k次采样时刻的偏差值，e(k-l)为系统第(k-l)次采样时刻的偏差值，k为采样序号，k=0，1，2，3, 4 …。
将上面的式（2.7）和式（2.8）代入式（2.9）则可以得到离散的PID表达式：
若在式（2.10）中，令：
式(2.11)式就是位置式的PID控制算法编程表达式。从中可以看出，为了计算u(k)，不仅涉及e(k)和e(k-l)，且必须将以前所有的e(j)相加，计算相当的复杂，而且浪费内存。下面，我们推导计算相对简单的递推算式。为此，式(2.10)式作相应的变动：
考虑到第（k-1）次采样时有：